2011-上海卷理-01 填-对数反函数

本题导读

本题考查反函数的概念与求法，以及反函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x-2}$ 的反函数为 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\frac{1}{x-2}$ 反解出 $x$。
2. 求出原函数的值域，作为反函数的定义域。
3. 互换变量并规范写出反函数解析式及定义域。

✅【答案】

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$\frac{1}{x}+2(x\ne 0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1}{x-2}$，得： $x-2=\frac{1}{y}⟹x=\frac{1}{y}+2$ 因为原函数中 $x-2\ne 0$，所以 $y\ne 0$。 互换 $x,y$，得反函数为： $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}+2(x\ne 0)$ 故答案为：$\frac{1}{x}+2(x\ne 0)$（或 $\frac{2x+1}{x}(x\ne 0)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数解析式求解与反函数定义域的限定。
• 核心方法：$y=f(x)\to x=f^{-1}(y)\to y=f^{-1}(x)$，原函数的值域即为反函数的定义域。
• 避坑指南：写反函数表达式时，必须标注定义域 $x\ne 0$，遗漏定义域会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：沪教版高一上册函数的基本性质之“反函数”基础概念题。
• 结论推广：对于分式线性函数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$（$ad-bc\ne 0,c\ne 0$），其反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}\left(x\ne \frac{a}{c}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-16 填-反函数与求法
• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-北京卷文-05 单-受限反函数