2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值

本题导读

本题考查导数的运算法则，以及含参函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=(x-k)e^x$．

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f^{\prime }(x)=e^x(x-k+1)$
2. 步骤2：按 $k-1$ 与 $[0,1]$ 的位置关系分三类

✅【答案】

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(1) 单调递减区间 $(-\infty ,k-1)$，单调递增区间 $(k-1,+\infty )$

(2) 最小值为 $-k$（$k⩽1$）、$-e^{k-1}$（$1<k<2$）、$(1-k)e$（$k⩾2$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=e^x+(x-k)e^x=e^x(x-k+1)$。

$e^x>0$，故 $x>k-1$ 时 $f^{\prime }>0$，$x<k-1$ 时 $f^{\prime }<0$。

单调递减区间为 $(-\infty ,k-1)$，单调递增区间为 $(k-1,+\infty )$。

(2) 极小值点 $x=k-1$。

① $k-1⩽0$（$k⩽1$）：$f$ 在 $[0,1]$ 上递增，最小值 $f(0)=-k$；

② $0<k-1<1$（$1<k<2$）：最小值 $f(k-1)=(k-1-k)e^{k-1}=-e^{k-1}$；

③ $k-1⩾1$（$k⩾2$）：$f$ 在 $[0,1]$ 上递减，最小值 $f(1)=(1-k)e$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积求导法则；单调区间与参数无关部分的分离；区间最值的三类讨论

核心方法：$e^x>0$ 恒正，导数符号只看 $x-k+1$；最小值由”极小值点是否落入区间”分三类

避坑指南：分类的界是 $k=1$ 与 $k=2$（即 $k-1$ 落在 $[0,1]$ 两端），不是 $k=0,1$；区间最值别忘了比较端点与极小值点三类归属，不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参指数函数的单调性与最值与 2012-江西卷文-21（含参导数单调性与最值）、2014-大纲卷文-21（导数含参单调性）同族。

结论推广：推广：$f(x)=(x-k)e^x$ 的极小值 $-e^{k-1}$ 在 $x=k-1$ 处；其图象过 $(k,0)$，两支渐近行为由 $e^x$ 主导，是”平移族”函数的典型代表。

方法推广：含参导数题：先把符号确定的部分（$e^x$）分离，再对零点 $x=k-1$ 与给定区间的相对位置分三类；每类直接写端点或极小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-21 解-含参导数单调性与最值
• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性