2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的交点。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知椭圆 $G:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点为 $\left(2\sqrt{2},0\right)$，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A$，$B$ 两点，以 $AB$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P(-3,2)$．

(1) 求椭圆 $G$ 的方程；

(2) 求 $△PAB$ 的面积．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 由 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$、$c=2\sqrt{2}$ 求 $a,b$
2. 步骤2：(2) $P$ 在 $AB$ 中垂线上定 $m$
3. 步骤3：韦达定端点
4. 步骤4：算弦长与点线距

✅【答案】

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(1) $G:\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) $S_{△PAB}=\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $c=2\sqrt{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow a=\frac{c}{e}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=2\sqrt{3}$，$a^2=12$。

$b^2=a^2-c^2=12-8=4$。故 $G:\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$。

(2) 设 $l:y=x+m$，代入 $G$：$x^2+3(x+m{)}^2=12$，即 $4x^2+6mx+3m^2-12=0$。

$AB$ 中点 $M\left(-\frac{3m}{4},\frac{m}{4}\right)$。$PA=PB\Rightarrow PM\perp AB$（斜率为 $-1$）：

$\frac{\frac{m}{4}-2}{-\frac{3m}{4}+3}=-1\Rightarrow \frac{m}{4}-2=\frac{3m}{4}-3\Rightarrow m=2$。

$l:y=x+2$，代入得 $4x^2+12x=0$，$x=0$ 或 $x=-3$：$A(0,2)$，$B(-3,-1)$。

$|AB|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；$P(-3,2)$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。

$S_{△PAB}=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离心率与标准方程的互求；等腰三角形顶点在底边中垂线上；弦长与点线距离

核心方法：“等腰”翻译成”中点与顶点连线垂直于底边”：中点坐标（韦达）+ 垂直条件定参数 $m$

避坑指南：$P$ 到 $l$ 距离的分子 $|-3-2+2|=3$，绝对值别丢；解出 $m$ 后要验证 $\Delta >0$（此处 $x=0,-3$ 两交点存在）；$A$、$B$ 与 $P$ 的相对位置要代入核对（$P(-3,2)$ 与 $B(-3,-1)$ 横坐标相同是本题特点）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆中”等腰三角形定直线”与 2012-北京卷文-19（椭圆弦长面积）、2014-山东卷文-21（椭圆斜率面积）同族。

结论推广：推广：一般地，斜率为 $k$ 的弦 $AB$ 与定点 $P$ 构成等腰三角形 $⟺$ $AB$ 的中点落在过 $P$ 且斜率为 $-\frac{1}{k}$ 的直线上；结合”中点轨迹（点差法）“可反求弦所在直线。

方法推广：解析几何大题：第(1)问由 $e,c$ 定 $a,b$ 程序化；第(2)问把几何条件（等腰）翻译为中点 + 垂直两个代数方程，联立解出 $m$ 后回到弦长与距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2014-山东卷文-21 解-椭圆斜率面积