2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$（$a>0$）的渐近线方程为 $3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $x^2+y^2=12$ 型标准方程读出 $b=3$
2. 步骤2：对比渐近线斜率求 $a$

✅【答案】

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C$a=2$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 中 $b^2=9$，$b=3$，其渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{a}x$。

题给渐近线 $3x\pm 2y=0$，即 $y=\mp \frac{3}{2}x$，斜率大小 $\frac{3}{2}$。

故 $\frac{3}{a}=\frac{3}{2}$，$a=2$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$

核心方法：先由标准方程读 $b$，再令渐近线斜率相等解 $a$

避坑指南：渐近线斜率是 $\frac{b}{a}$（$y$ 在上）而不是 $\frac{a}{b}$——把 $x^2$ 项系数当 $b^2$ 就会得 $a=\frac{9}{2}$ 的假答案；直线方程 $3x\pm 2y=0$ 要先化成 $y=\pm \frac{3}{2}x$ 再比斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线方程题与 2012-湖南卷文-06、2011-北京卷文-10、2013-新课标I卷文-04 同族。

结论推广：推广：渐近线为 $\frac{x}{m}\pm \frac{y}{n}=0$ 的双曲线可设为 $\frac{x^2}{m^2\lambda }-\frac{y^2}{n^2\lambda }=1$（$\lambda >0$），本题 $m:n=2:3$，由 $n^2\lambda =9$ 得 $\lambda =1$，即 $a^2=4$。

方法推广：渐近线反求方程：把渐近线写成截距式 $\pm \frac{x}{m}\pm \frac{y}{n}=1$ 的零常数形式，系数比即 $a:b$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线