2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 夹角为 $45^{\circ }$，且 $|\mathbf{a}|=1$，$|2\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{10}$，则 $|\mathbf{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$|2\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=4+|\mathbf{b}{|}^2-2\sqrt{2}|\mathbf{b}|=10$，解得 $|\mathbf{b}|=3\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$3\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}|\mathbf{b}|$。

$$\begin{gathered} |2\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=4|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-4 \\ ,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4+|\mathbf{b}{|}^2-2\sqrt{2} \\ ,|\mathbf{b}|=10 \end{gathered}$$

即 $$\begin{gathered} |\mathbf{b}{|}^2-2\sqrt{2} \\ ,|\mathbf{b}|-6=0 \end{gathered}$$，因式分解 $(|\mathbf{b}|-3\sqrt{2})(|\mathbf{b}|+\sqrt{2})=0$。

$|\mathbf{b}|>0$，故 $|\mathbf{b}|=3\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的定义与模的平方展开

核心方法：“模平方”技术：$|\mathbf{u}{|}^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$ 展开为二次方程

避坑指南：展开时交叉项系数是 $-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$（$2\mathbf{a}$ 与 $-\mathbf{b}$ 各贡献一个 $2$），别漏倍数；负根 $-\sqrt{2}$ 要舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积求模，与 2013 年新课标Ⅰ文第 13 题、2013 年山东卷理第 15 题同族。

结论推广：一般地，$$\begin{gathered} |m\mathbf{a}-n\mathbf{b}{|}^2=m^2|\mathbf{a}{|}^2+n^2|\mathbf{b}{|}^2-2mn \\ ,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \end{gathered}$$。

方法推广：凡”已知模与夹角求模（或反之）“，一律平方展开成代数方程，避免几何作图的随意性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2013-山东卷理-15 填-向量数量积