2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}$，$\alpha \in (0,\pi )$，则 $\tan \alpha =$()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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两边平方得 $1-2\sin \alpha \cos \alpha =2$，故 $\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{1}{2}$；于是 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=0$，$\sin \alpha =-\cos \alpha$，$\tan \alpha =-1$，故选 A

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}$ 两边平方：

${\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =2$，即 $1-2\sin \alpha \cos \alpha =2$，故 $\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{1}{2}$。

于是 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+2\sin \alpha \cos \alpha =1-1=0$，所以 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$，即 $\sin \alpha =-\cos \alpha$。

故 $\tan \alpha =-1$。

（检验：由 $\sin \alpha =-\cos \alpha$ 且 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得 $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\alpha =\frac{3\pi }{4}\in (0,\pi )$，且 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}$，符合题意。）

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的平方关系；正切与正余弦的关系

核心方法：“平方定积 → 和的平方定和差”，再由 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$ 直接读出 $\tan \alpha$

避坑指南：平方后得 $\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{1}{2}$，说明 $\alpha$ 在第二象限（$\sin \alpha >0$，$\cos \alpha <0$），若不检验 $\alpha \in (0,\pi )$ 的范围、把 $\cos \alpha$ 符号弄错，会误选（B）或（C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角函数求值题，与 2013 年大纲卷文第 2 题、2015 年福建卷文第 6 题同族。

结论推广：已知 $\sin \alpha \pm \cos \alpha =t$（$|t|⩽\sqrt{2}$），则 $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{t^2-1}{2}$；本题 $t=\sqrt{2}$ 时积为 $-\frac{1}{2}$，是”平方差最大”的临界情形。

方法推广：同角求值三板斧：平方得积、和差互换、商定正切，最后用角的范围定符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2015-福建卷文-06 单-同角三角函数
• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数