2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型

本题导读

本题考查频率分布表。核心在于按比例分配、列举计数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 从一批苹果中，随机抽取 $50$ 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）	$[80,85)$	$[85,90)$	$[90,95)$	$[95,100)$
频数（个）	$5$	$10$	$20$	$15$

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 $[90,95)$ 的频率；

(2)用分层抽样的方法从重量在 $[80,85)$ 和 $[95,100)$ 的苹果中共抽取 $4$ 个，其中重量在 $[80,85)$ 的有几个？

(3)在(2)中抽出的 $4$ 个苹果中，任取 $2$ 个，求重量在 $[80,85)$ 和 $[95,100)$ 中各有 $1$ 个的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$\frac{20}{50}=0.4$。
2. （2）$4\times \frac{5}{5+15}=1$ 个。
3. （3）记 $[80,85)$ 的为 $a$，$[95,100)$ 的为 $b_1,b_2,b_3$，$C_4^2=6$ 种取法，“各 1 个”含 $(a,b_1),(a,b_2),(a,b_3)$ 共 $3$ 种 → $P=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1)$0.4$；(2)$1$ 个；(3)$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）苹果重量在 $[90,95)$ 的频率为 $\frac{20}{50}=\mathrm{0.4.}$ （2）$[80,85)$ 与 $[95,100)$ 的频数之比为 $5:15=1:3$，故从 $[80,85)$ 中抽取 $4\times \frac{5}{5+15}=1(\text{个}).$ （3）记抽出的 $1$ 个 $[80,85)$ 苹果为 $a$，$3$ 个 $[95,100)$ 苹果为 $b_1$，$b_2$，$b_3$。 从 $4$ 个中任取 $2$ 个，所有可能为 $(a,b_1),(a,b_2),(a,b_3),(b_1,b_2),(b_1,b_3),(b_2,b_3),$ 共 $6$ 种，每种等可能。 记事件 $A$：“两苹果来自 $[80,85)$ 与 $[95,100)$ 各 $1$ 个”，包含 $(a,b_1)$，$(a,b_2)$，$(a,b_3)$ 共 $3$ 种。 故 $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率、分层抽样与古典概型

核心方法：频率 $\frac{20}{50}=0.4$；分层抽样按 $5:15=1:3$ 抽 $4$ 个 → $[80,85)$ 抽 $1$ 个；$4$ 个中 $1$ 个 $a$、$3$ 个 $b$，$P=\frac{C_3^1}{C_4^2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

避坑指南：分层抽样按频数比例分配名额（$4\times \frac{5}{20}=1$），别平均分；第（3）问枚举”一 $a$ 一 $b$“有 $3$ 种、总数 $C_4^2=6$——把总数误当 $A_4^2=12$（有顺序）概率就减半出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：用样本估计总体、分层抽样与古典概型（统计概率综合，广东卷解答题）。

结论推广：频率 = 频数 ÷ 样本容量；分层抽样按比例分配；列举法 + 组合计数。

方法推广：算频率 → 比例分配抽样数 → 列举基本事件求概率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-17 解-古典概型
• 2013-浙江卷文-12 填-古典概型
• 2013-福建卷文-19 解-直方图与独立性检验