2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

本题导读

本题考查等差数列，以及等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{8} = 10$ ，则 $3 a_{5} + a_{7} =$ .

🔍【思路分析】

破题导航

观察下标关系：

已知条件： $a_{3} + a_{8} = 10$ ，其下标之和为 $3 + 8 = 11$ 。

待求式： $3 a_{5} + a_{7}$ 。观察下标， $5$ 和 $7$ 与已知下标的关系并不直接。

利用性质转化：

将待求式拆分： $3 a_{5} + a_{7} = 2 a_{5} + (a_{5} + a_{7})$ 。

利用等差中项性质： $a_{5} + a_{7} = 2 a_{6}$ 。

进一步转化：原式 $= 2 a_{5} + 2 a_{6} = 2 (a_{5} + a_{6})$ 。

下标和相等结论：

观察 $a_{5} + a_{6}$ 的下标和为 $5 + 6 = 11$ 。

根据性质，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。

因此 $a_{5} + a_{6} = a_{3} + a_{8} = 10$ 。

✅【答案】

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20

✍【详细解析】

Abstract

第一步：拆分待求式 待求式为 $3 a_{5} + a_{7}$ 。我们可以将其改写为： $3 a_{5} + a_{7} = 2 a_{5} + (a_{5} + a_{7})$

第二步：应用等差中项性质 在等差数列中， $a_{5}, a_{6}, a_{7}$ 成等差数列，由等差中项性质得： $a_{5} + a_{7} = 2 a_{6}$ 代入上式得： $3 a_{5} + a_{7} = 2 a_{5} + 2 a_{6} = 2 (a_{5} + a_{6})$

第三步：利用下标和性质求解 因为 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $5 + 6 = 3 + 8 = 11$ ，根据等差数列的性质，有： $a_{5} + a_{6} = a_{3} + a_{8}$ 已知 $a_{3} + a_{8} = 10$ ，所以： $a_{5} + a_{6} = 10$

第四步：计算最终结果 $3 a_{5} + a_{7} = 2 \times (a_{5} + a_{6}) = 2 \times 10 = 20$

故答案为：20。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的性质 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ （当 $m + n = p + q$ 时）。

核心方法：“凑下标法”。在解决数列填空题时，优先考虑性质转化而非直接求首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ ，这样可以大幅减少计算量。

避坑指南：拆分 $3 a_{5}$ 时要灵活，目的是凑出能够利用性质的组合。如果使用基本量法（设 $a_{1}$ 和 $d$ ），虽然能算出来，但容易因方程组繁琐而失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列也有类似性质：若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} \cdot a_{n} = a_{p} \cdot a_{q}$ 。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于求 $S_{n}$ （前 $n$ 项和）的题目，利用 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ 结合下标性质同样非常高效。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

2013-上海卷文-02 填-等差数列性质

2026-新高考II卷-12 填-等差数列

2026-北京卷-12 填-等差数列

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2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

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