2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围

本题导读

本题考查基本不等式，以及指数运算。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 若 $2^x+2^y=1$，则 $x+y$ 的取值范围是()

A. $[0,2]$　　　　B. $[-2,0]$　　　　C. $[-2,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,-2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2^x+2^y⩾2\sqrt{2^x\cdot 2^y}=2\sqrt{2^{x+y}}=2\cdot 2^{\frac{x+y}{2}}$。
2. $1⩾2\cdot 2^{\frac{x+y}{2}}$ → $2^{\frac{x+y}{2}}⩽\frac{1}{2}=2^{-1}$ → $\frac{x+y}{2}⩽-1$。
3. $x+y⩽-2$，当 $x=y=-1$ 时取等。

✅【答案】

点击查看答案

（D）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2^x>0$，$2^y>0$，由基本不等式 $1=2^x+2^y⩾2\sqrt{2^x\cdot 2^y}=2\sqrt{2^{x+y}}=2\cdot 2^{\frac{x+y}{2}},$ 所以 $2^{\frac{x+y}{2}}⩽\frac{1}{2}=2^{-1}$。 由指数函数 $y=2^t$ 单调递增，得 $\frac{x+y}{2}⩽-1,即x+y⩽-2.$ 当且仅当 $2^x=2^y$，即 $x=y=-1$ 时取等号，此时 $x+y=-2$ 可以取到。 故 $x+y$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2]$。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与指数运算

核心方法：$2^x+2^y=1$，由 $2^x+2^y⩾2\sqrt{2^{x+y}}$ 得 $2^{(x+y)/2}⩽\frac{1}{2}$，即 $x+y⩽-2$

避坑指南：均值不等式给的是下界：$2^x+2^y⩾2\sqrt{2^{x+y}}$，于是积 $2^{x+y}$ 有上界、和 $x+y$ 有上界——把方向弄反就会选 B 或 C；取等条件 $x=y=-1$ 要交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式在指数式中的应用（福建卷选择题中档题）。

结论推广：$a+b⩾2\sqrt{ab}$（$a,b>0$）；同底数幂乘法 $2^x\cdot 2^y=2^{x+y}$。

方法推广：把 $2^x$、$2^y$ 看作两个正数 → 奇次根号内凑 $2^{x+y}$ → 解指数不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式