2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法

本题导读

本题考查空间线面角的动态范围问题。通过建立空间直角坐标系，将直线 $OP$ 与平面 $A_{1}BD$ 的夹角转化为方向向量与法向量夹角的函数，利用参数取值范围求解正弦值的区间。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $O$ 为线段 $BD$ 的中点.设点 $P$ 在线段 $C{C}_1$ 上，直线 $OP$ 与平面 $A_{1}BD$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha$ 的取值范围是 ()

A. $[\frac{\sqrt{3}}{3},1]$　　　B. $[\frac{\sqrt{6}}{3},1]$　　　C. $[\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}]$　　　D. $[\frac{2\sqrt{2}}{3},1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：设正方体棱长为 1，以 $D$ 为原点， $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 确定点与向量：
   • 写出 $A_1,B,D$ 的坐标，求出平面 $A_{1}BD$ 的法向量 $\vec{n}$。
   • 设 $P$ 点坐标为 $(0,1,\lambda )$，其中 $\lambda \in [0,1]$。
   • 写出直线 $OP$ 的方向向量 $\vec{v}$。
3. 建立函数关系：利用公式 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{v}|}$，得到关于 $\lambda$ 的表达式。
4. 求值域：利用单调性或导数工具求出 $\sin \alpha$ 在 $\lambda \in [0,1]$ 上的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系与求法向量 设正方体棱长为 1。建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 则 $D(0,0,0),A_1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),C_1(0,1,1)$。 点 $O$ 为 $BD$ 中点，则 $O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$。 对于平面 $A_{1}BD$： $\overrightarrow{D{A}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$。 设法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}x+z=0\\ x+y=0\end{array}⟹$ 令 $x=1$，得 $\vec{n}=(1,-1,-1)$。

第二步：表示方向向量 $\overrightarrow{OP}$ 点 $P$ 在线段 $C{C}_1$ 上，设 $P(0,1,\lambda )$，$\lambda \in [0,1]$。 $\overrightarrow{OP}=(0-\frac{1}{2},1-\frac{1}{2},\lambda -0)=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\lambda )$。

第三步：计算 $\sin \alpha$ $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{OP}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{OP}|}=\frac{|1(-\frac{1}{2})+(-1)(\frac{1}{2})+(-1)\lambda |}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2+{\lambda }^2}}$ $\sin \alpha =\frac{|-1-\lambda |}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{{\lambda }^2+\frac{1}{2}}}=\frac{1+\lambda }{\sqrt{3{\lambda }^2+\frac{3}{2}}}$

第四步：求范围 设 $f(\lambda )=\frac{(1+\lambda {)}^2}{3{\lambda }^2+\frac{3}{2}}=\frac{{\lambda }^2+2\lambda +1}{3{\lambda }^2+1.5}$。 通过求导或换元（令 $t=\lambda +1\in [1,2]$）分析：

• 当 $\lambda =1$（即 $P$ 与 $C_1$ 重合）时：$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{3+1.5}}=\frac{2}{\sqrt{4.5}}=\frac{2}{3/\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
• 当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时（通过求导发现此时取得最大值）：$\sin \alpha =1$。
• 当 $\lambda =0$（即 $P$ 与 $C$ 重合）时：$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{1.5}}=\frac{1}{\sqrt{3/2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 比较端点与极值点，由于 $\sin \alpha$ 的函数在 $[0,1]$ 上先增后减， 其最小值为 $\min (\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{\sqrt{6}}{3}$，最大值为 $1$。 故 $\sin \alpha \in [\frac{\sqrt{6}}{3},1]$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的向量求法，公式 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$。

2. 核心方法：建系求法向量与方向向量，用 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$ 求线面角

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面角公式 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$、空间向量的夹角。

2. 结论推广: 动点线面角的最值常出现在端点或与法向量平行处。

3. 方法推广: 动态线面角问题坐标参数化为单变量函数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-07 单-线面角
• 2015-天津卷文-17 解-线面角
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角