2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的性质与解法。第一问利用绝对值三角不等式进行放缩，结合基本不等式求出函数最小值的下界；第二问通过代入特定值并根据参数 $a$ 的范围进行分类讨论，去掉绝对值符号从而求解二次不等式组。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设函数 $f(x)=|x+\frac{1}{a}|+|x-a|$ ($a>0$).

(1) 证明：$f(x)\ge 2$；

(2) 若 $f(3)<5$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明不等式
   • 绝对值三角不等式：利用 $|a|+|b|\ge |a-b|$ 的性质，将含有 $x$ 的项抵消，得到一个仅含参数 $a$ 的表达式。
   • 均值不等式：观察得到的表达式 $a+\frac{1}{a}$，利用 $a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}$ 即可得证。
2. 第二问：求解参数范围
   • 代入化简：将 $x=3$ 代入得 $|3+\frac{1}{a}|+|3-a|<5$。由于 $a>0$，前一项绝对值可直接去掉。
   • 分类讨论：针对 $|3-a|$，分 $a>3$ 和 $0<a\le 3$ 两种情况讨论，去掉绝对值符号。
   • 解不等式：转化成关于 $a$ 的一元二次不等式，解出结果并取并集。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明 $f(x)\ge 2$；第 (2) 小题：求 $a$ 的取值范围；情况 ①：当 $a>3$ 时；情况 ②：当 $0<a\le 3$ 时

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明 $f(x)\ge 2$ 证明：因为 $a>0$，由绝对值三角不等式知： $f(x)=|x+\frac{1}{a}|+|a-x|\ge |(x+\frac{1}{a})-(x-a)|$ $f(x)\ge |a+\frac{1}{a}|$ 因为 $a>0$，根据基本不等式： $a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=2$ 当且仅当 $a=\frac{1}{a}$ 即 $a=1$ 时等号成立。 所以 $f(x)\ge 2$ 得证。

第 (2) 小题：求 $a$ 的取值范围 解：由 $f(3)<5$ 得：$|3+\frac{1}{a}|+|3-a|<5$。 由于 $a>0$，原式化为 $3+\frac{1}{a}+|3-a|<5$。 情况 ①：当 $a>3$ 时 原不等式变为 $3+\frac{1}{a}+(a-3)<5$。 即 $a+\frac{1}{a}<5$，两边同乘 $a$ 得 $a^2-5a+1<0$。 解得 $\frac{5-\sqrt{21}}{2}<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。 结合 $a>3$ 且 $\frac{5-\sqrt{21}}{2}<1$，故此分支解为 $3<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。

情况 ②：当 $0<a\le 3$ 时 原不等式变为 $3+\frac{1}{a}+(3-a)<5$。 即 $6-a+\frac{1}{a}<5⟹\frac{1}{a}-a+1<0$。 整理得 $a-\frac{1}{a}-1>0⟹\frac{a^2-a-1}{a}>0$。 由于 $a>0$，则 $a^2-a-1>0$。 解得 $a>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $a<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）。 结合 $0<a\le 3$，故此分支解为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a\le 3$。

总结范围： 综上所述，取两段解的并集，得到 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{5+\sqrt{21}}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式与基本不等式、分类讨论解绝对值不等式。

2. 核心方法：利用 $a>0$ 简化绝对值拆解，对临界点分类讨论，结合绝对值三角不等式求最值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a\pm b|$、均值不等式 $a+\frac{1}{a}\ge 2$。

2. 结论推广: 函数 $f(x)=|x-a|+|x-b|$ 的最小值为 $|a-b|$，其图像呈“平底锅”状。

3. 方法推广: 面对包含多个绝对值的不等式，通常采用“零点分段法”进行讨论。 6. 知识关联: 绝对值不等式与集合运算、二次函数、区间表示法的综合运用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式