2014-湖北卷文-02 单-复数

本题导读

先算 $\frac{1-i}{1+i}$，再平方。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） $i$ 为虚数单位，则 ${\left(\frac{1-i}{1+i}\right)}^2=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $i$　　　　　　　D. $-i$

🔍【思路分析】

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$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i{)}^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i}{2}=-i$，平方得 $-1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i{)}^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$，故原式 $=(-i{)}^2=i^2=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法与乘方

2. 核心方法：分母实数化后利用 $i^2=-1$

3. 避坑指南：$(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$ 中 $i^2=-1$ 别忘代入；除法先乘共轭再约分，不要把 $\frac{1-i}{1+i}$ 直接写成 $-i$ 又忘记平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数四则运算基础题。

2. 结论推广: $\frac{1+i}{1-i}=i$、$\frac{1-i}{1+i}=-i$ 是常用结论，可记住后直接使用。

3. 方法推广: 复数乘方先化简底数再乘方，比硬算省时；周期性 $i^{4k}=1$ 常与这类题组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷理-1
• 2015-广东卷理-2