2014-湖北卷文-08 单-双曲线

本题导读

先由韦达定理求出过 $A$、$B$ 的直线，再代入双曲线看交点。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 设 $a$，$b$ 是关于 $t$ 的方程 $t^2\cos \theta +t\sin \theta =0$ 的两个不等实根，则过 $A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$ 两点的直线与双曲线 $\frac{x^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{y^2}{{\sin }^2\theta }=1$ 的公共点的个数为()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

方程有根 $t=0$，故 $ab=0$；直线 $y=(a+b)x-ab=-\tan \theta \cdot x$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

方程即 $t(t\cos \theta +\sin \theta )=0$，两根为 $t_1=0$，$t_2=-\tan \theta$（由两根不等知 $\sin \theta \ne 0$，且 $\cos \theta \ne 0$）。故 $ab=0$，$a+b=-\tan \theta$。过 $A(a,a^2)$，$B(b,b^2)$ 的直线为 $y=(a+b)x-ab=-\tan \theta \cdot x$。代入双曲线左端：$\frac{x^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{x^2{\tan }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=x^2\left(\frac{1}{{\cos }^2\theta }-\frac{1}{{\cos }^2\theta }\right)=0\ne 1$，即直线与双曲线无公共点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：韦达定理与直线系

2. 核心方法：两根和定直线、代入双曲线恒不成立

3. 避坑指南：$t=0$ 是方程的一根，所以 $ab=0$、$a+b=-\tan \theta$，直线 $y=-\tan \theta \cdot x$ 恰过原点且与双曲线渐近方向一致；直接联立消元时分子恰为 $0$，与「$=1$」矛盾，公共点个数为 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二次方程根与过两定点的直线、双曲线位置关系综合。

2. 结论推广: 过 $A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$ 的直线方程为 $y=(a+b)x-ab$，本题 $ab=0$ 退化为过原点的直线 $y=-\tan \theta \cdot x$。

3. 方法推广: 判断直线与双曲线位置关系时，先看直线是否平行于渐近线——平行时方程组退化为「$0=c$」型，直接得无公共点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质