2014-湖北卷理-08 单-体积公式

本题导读

本题结合中国古代数学名著《算数书》考查圆锥体积公式。通过已知圆锥体积的近似公式，反求其中蕴含的圆周率 $\pi$ 的近似取值。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 $L$ 与高 $h$，计算其体积 $V$ 的近似公式 $v\approx \frac{1}{36}{L}^{2}h$.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $\pi$ 近似取为 3.那么近似公式 $v\approx \frac{2}{75}{L}^{2}h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $\pi$ 近似取为()

A. $\frac{22}{7}$　　　　　B. $\frac{25}{8}$　　　　　C. $\frac{157}{50}$　　　　　D. $\frac{355}{113}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾圆锥体积公式：标准的圆锥体积公式为 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
2. 统一变量：利用底面周长公式 $L=2\pi r$，推导出 $r=\frac{L}{2\pi }$，代入体积公式中，将 $V$ 表示为含 $L,h,\pi$ 的表达式。
3. 建立等量关系：令推导出的含 $\pi$ 表达式与题目给出的近似公式 $\frac{2}{75}{L}^{2}h$ 相等，解出 $\pi$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：标准公式变形 设圆锥底面半径为 $r$，高为 $h$，底面周长为 $L$。 标准体积公式为： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 由 $L=2\pi r$ 可得 $r=\frac{L}{2\pi }$，代入上式： $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^2\cdot h$ $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{L^2}{4{\pi }^2}\cdot h=\frac{1}{12\pi }{L}^{2}h$

第二步：对比求近似值 已知近似公式为 $v\approx \frac{2}{75}{L}^{2}h$，令其等于变形后的标准公式： $\frac{1}{12\pi }{L}^{2}h=\frac{2}{75}{L}^{2}h$ $\frac{1}{12\pi }=\frac{2}{75}$ 解关于 $\pi$ 的方程： $24\pi =75⟹\pi =\frac{75}{24}$ 约分（分子分母同除以 3）： $\pi =\frac{25}{8}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥体积公式与圆周率近似

2. 核心方法：由 $L=2\pi r$ 代入 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 得 $V=\frac{1}{12\pi }{L}^{2}h$，与近似公式对比求 $\pi$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥体积公式与《算数书》古籍

2. 结论推广: 用周长表示的圆锥体积 $V=\frac{1}{12\pi }{L}^{2}h$。

3. 方法推广: 可迁移到由近似公式反推常数（如 $\pi$）类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式