2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式

本题导读

本题是填空题的压轴题，考查多元变量在约束条件下的最值嵌套问题。核心意图是利用判别式或柯西不等式锁定变量间的比例关系，再转化为一元函数求极值。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 对于 $c>0$，当非零实数 $a,b$ 满足 $4a^2-2ab+4b^2-c=0$，且使 $|2a+b|$ 最大时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一阶段：锁定 $a,b,c$ 的比例关系
   • 目标：使 $|2a+b|$ 最大。
   • 策略：令 $2a+b=t$，则 $b=t-2a$。代入约束方程，构造关于 $a$ 的一元二次方程。
   • 关键点：由于 $a\in \mathbb{R}$，方程必有实根，利用判别式 $\Delta \ge 0$ 求出 $t^2$ 的上界，并找到取等号（最大值）时 $a,b$ 与 $c$ 的数量关系。
2. 第二阶段：求目标式最小值
   • 将第一阶段得到的 $a,b$ 关系代入 $\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$。
   • 此时目标式转化为关于单变量 $c$（或其变形）的二次函数，利用配方法或单调性求得最小值。

✅【答案】

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所述，最小值为 $-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $|2a+b|$ 最大时的条件 设 $2a+b=t$，则 $b=t-2a$。 代入 $4a^2-2ab+4b^2-c=0$ 得： $4a^2-2a(t-2a)+4(t-2a{)}^2-c=0$ 整理成关于 $a$ 的二次方程： $24a^2-18at+4t^2-c=0$ 因为 $a$ 为实数，所以判别式 $\Delta =(-18t{)}^2-4\times 24\times (4t^2-c)\ge 0$。 解得 $324t^2-384t^2+96c\ge 0⟹60t^2\le 96c⟹t^2\le \frac{8c}{5}$。 当 $t^2$ 取最大值 $\frac{8c}{5}$ 时，方程有重根 $a=\frac{18t}{2\times 24}=\frac{3t}{8}$。 进而 $b=t-2a=t-\frac{3t}{4}=\frac{t}{4}$。 此时有关系式：$a=\frac{3}{8}t,b=\frac{2}{8}t⟹\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，即 $2a=3b$。 将 $a=\frac{3}{2}b$ 代入原方程得 $10b^2=c$，即 $b^2=\frac{c}{10},a^2=\frac{9c}{40}$。

第二步：求目标式最小值 当 $|2a+b|$ 最大时，$a,b$ 同号。

1. 若 $a,b>0$： $a=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c}{10}},b=\sqrt{\frac{c}{10}}$。 目标式 $W=\frac{3}{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c}{10}}}-\frac{4}{\sqrt{\frac{c}{10}}}+\frac{5}{c}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{c}}-\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{c}}+\frac{5}{c}=\frac{5}{c}-\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{c}}$。 令 $u=\frac{1}{\sqrt{c}}>0$，则 $W=5u^2-2\sqrt{10}u=5(u-\frac{\sqrt{10}}{5}{)}^2-2$。 当 $u=\frac{\sqrt{10}}{5}$（即 $c=\frac{5}{2}$）时，$W_{\min }=-2$。
2. 若 $a,b<0$： 代入后目标式可知大于 $0$，不可能是最小值。

综上所述，最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多元变量的最值嵌套问题。

2. 核心方法：判别式法。在处理“由方程约束求线性组合最值”时，判别式法往往比柯西不等式更容易确定变量间的比例。

3. 避坑指南：求出 $a,b,c$ 比例后，代入目标式会发现它是一个关于 $\frac{1}{\sqrt{c}}$ 的二次函数，不可直接使用基本不等式（因为存在负项），应使用配方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式证明：$(2a+b{)}^2\le (4a^2-2ab+4b^2)\times (\text{待定系数})$。

2. 结论推广: 令线性组合为 $t$，代入约束方程用判别式 $\Delta \ge 0$ 求 $t^2$ 上界，等号处对应变量比例。

3. 方法推广: 对于 $|mx+ny|$ 在椭圆型约束 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2=D$ 下的最值，比例关系 $x:y$ 仅取决于系数，与 $D$ 无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

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