2015-山东卷文-16 解-古典概型

本题导读

第 (1) 问是”对面的补集”：45 人中 30 人两个社团都没参加，先算至少参加一个的人数。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

| | 参加书法社团 | 未参加书法社团 | |参加演讲社团|8|5| |未参加演讲社团|2|30|

(1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 $A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$，$A_5$，3 名女同学 $B_1$，$B_2$，$B_3$．现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 $A_1$ 被选中且 $B_1$ 未被选中的概率．

🔍【思路分析】

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第 (1) 问是”对面的补集”：45 人中 30 人两个社团都没参加，先算至少参加一个的人数。第 (2) 问按”男选 1、女选 1”列举 15 个等可能基本事件。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{2}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） 由表知两个社团都未参加的有 30 人，故至少参加一个社团的有 $45-30=15$ 人。

所以所求概率 $P=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$。

（Ⅱ） 从 5 名男同学和 3 名女同学中各选 1 人，基本事件共有 $5\times 3=15$ 个，每个基本事件等可能。

事件”$A_1$ 被选中且 $B_1$ 未被选中”：男同学必选 $A_1$（1 种），女同学从 $B_2,B_3$ 中选（2 种），共 $1\times 2=2$ 个基本事件。

故所求概率 $P=\frac{2}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型；对立事件（补集思想）

核心方法：“正难则反”用补集算人数；分步计数原理列基本事件

避坑指南：（1）“至少参加一个”= 总人数 − 都没参加，直接数 8+5+2=15 也行，但容易漏；（2）第 (Ⅱ) 问的分母是 $5\times 3=15$（各选 1 人），不是 ${\mathrm{C}}_8^2$——“男中选一、女中选一”是分步而非任选两人。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以校园社团调查为背景的双问概率题，第 (Ⅰ) 问考列联表读数与补集思想，第 (Ⅱ) 问考等可能事件的计数。

结论推广：第 (Ⅱ) 问可推广：求”$A_1$ 被选中”的概率 $=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$（男定 $A_1$、女任选 3 种）；两事件独立性的验证也可在此基础上展开。

方法推广：古典概型通法三步：明确试验与基本事件、验证等可能、数分子分母。含”至少""至多”字眼优先考虑对立事件。

🔗【关联脉络】

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