2017-全国卷I文-17 解-等比数列

本题导读

考查等比数列基本量的运算、前 $n$ 项和公式以及判断数列是否成等差数列的方法。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_2=2$，$S_3=-6$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 $S_n$，并判断 $S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 是否能成等差数列.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$。利用 $S_2=a_1+a_{1}q=2$，$S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=-6$ 列方程组求出 $a_1$ 和 $q$，进而写出通项公式。
2. 第(2)问：写出前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式，利用等差中项性质 $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$ 判断其是否恒成立或在特定条件下成立。

✅【答案】

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(1) $a_n=(-2{)}^n$

(2) $S_n=-\frac{2}{3}\left[1-(-2{)}^n\right]$，$S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 能成等差数列

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 由已知条件可得： $\{\begin{array}{l}{S}_2=a_1+a_{1}q=2\\ S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=-6\end{array}$ 因为 $S_3=S_2+a_3=-6$，所以 $2+a_3=-6⟹a_3=-8$。 又因为 $S_2=a_1+a_2=2$，$a_2^2=a_1{a}_3$ 等性质，或者直接由： $\frac{S_3}{S_2}=\frac{1+q+q^2}{1+q}=\frac{-6}{2}=-3$ $1+q+q^2=-3(1+q)⟹1+q+q^2=-3-3q⟹q^2+4q+4=0⟹(q+2{)}^2=0⟹q=-2$。 当 $q=-2$ 时，$a_1(1-2)=2⟹-a_1=2⟹a_1=-2$。 因此，等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1{q}^{n-1}=-2\cdot (-2{)}^{n-1}=(-2{)}^n$。

(2) 由等比数列前 $n$ 项和公式： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{-2(1-(-2{)}^n)}{1-(-2)}=\frac{-2[1-(-2{)}^n]}{3}=-\frac{2}{3}[1-(-2{)}^n]$。 判断 $S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 是否能成等差数列： 若 $S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 成等差数列，则必须满足： $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$。 代入 $S_n$ 表达式进行检验： $2S_n=-\frac{4}{3}[1-(-2{)}^n]$； $S_{n+1}+S_{n+2}=-\frac{2}{3}[1-(-2{)}^{n+1}]-\frac{2}{3}[1-(-2{)}^{n+2}]=-\frac{2}{3}[2-(-2{)}^{n+1}-(-2{)}^{n+2}]=-\frac{2}{3}[2+2(-2{)}^n-4(-2{)}^n]=-\frac{2}{3}[2-2(-2{)}^n]=-\frac{4}{3}[1-(-2{)}^n]$。 左右两边恒相等，即 $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$ 对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 均成立。 因此，$S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 能成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量方程组、前 $n$ 项和公式、等差中项判定。
2. 核心方法：利用 $S_3-S_2=a_3$ 简化运算。
3. 避坑指南：处理负号和幂次运算（如 $(-2{)}^n$）时要格外细心，避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题基础常规题。
2. 结论推广: 若数列的前 $n$ 项和满足 $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$，则该三个项对应构成等差数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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