2023-新高考II卷-06 单-导数单调性

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数研究不等式恒成立。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知函数 $f(x)=a{\text{e}}^x-\ln x$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（ ）

A. ${\text{e}}^2$　　　　　　B. $\text{e}$　　　　　　C. ${\text{e}}^{-1}$　　　　　　D. ${\text{e}}^{-2}$

🔍【思路分析】

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1. 转化单调性条件：若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则其导函数 $f^{\prime }(x)⩾0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立（且不恒为 0）。
2. 求导并列式：对 $f(x)$ 求导，建立关于 $a$ 的不等式。
3. 分离参数：将参数 $a$ 孤立到不等式的一侧，得到 $a⩾g(x)$ 的形式。
4. 构造函数求最值：研究新函数 $g(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上的单调性与最值（或上确界）。$a$ 的最小值即为 $g(x)$ 在该区间上的最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并建立恒成立不等式 $f(x)=a{\text{e}}^x-\ln x$，定义域为 $(0,+\infty )$。 求导得：$f^{\prime }(x)=a{\text{e}}^x-\frac{1}{x}$。 由题意，$f(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增，则在 $(1,2)$ 上： $f^{\prime }(x)=a{\text{e}}^x-\frac{1}{x}⩾0$ 恒成立。

第二步：分离参数 $a$ 由于 $x\in (1,2)$，则 ${\text{e}}^x>0$，不等式变形为： $a⩾\frac{1}{x{\text{e}}^x}$。

第三步：构造函数并判定单调性 设 $g(x)=\frac{1}{x{\text{e}}^x}$，其分子为常数，只需研究分母 $h(x)=x{\text{e}}^x$ 的性质。 对 $h(x)$ 求导： $h^{\prime }(x)={\text{e}}^x+x{\text{e}}^x=(x+1){\text{e}}^x$。 当 $x\in (1,2)$ 时，$x+1>0$ 且 ${\text{e}}^x>0$，故 $h^{\prime }(x)>0$。 所以 $h(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增。 由此可知，其倒数 $g(x)=\frac{1}{h(x)}$ 在 $(1,2)$ 上单调递减。

第四步：确定 $a$ 的最小值 由于 $g(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递减，要使 $a⩾g(x)$ 恒成立，则： $a⩾g(x)$ 的上确界 $=g(1)$。 计算 $g(1)$： $g(1)=\frac{1}{1\cdot {\text{e}}^1}=\frac{1}{\text{e}}={\text{e}}^{-1}$。

检验 $a={\text{e}}^{-1}$：此时 $f^{\prime }(x)={\text{e}}^{x-1}-\frac{1}{x}$，在 $(1,2)$ 上 ${\text{e}}^{x-1}>1>\frac{1}{x}$，故 $f^{\prime }(x)>0$，确为增函数，端点可取。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数单调性、恒成立问题。
2. 核心方法：分离参数法、构造函数求最值。
3. 避坑指南：分离参数时，须确认分母（如 $x{\text{e}}^x$）的符号，防止不等号变向。利用导数判定单调性时， $f^{\prime }(x)⩾0$ 是单调递增的必要条件，须确保导数不恒为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查导数在超越函数单调性及恒成立问题中的应用，为高考常见导数基础题型。
2. 结论推广：处理恒成立问题常转化为最值问题：若 $a⩾h(x)$ 恒成立，则等价于 $a⩾h(x{)}_{\max }$；若 $a⩽h(x)$ 恒成立，则等价于 $a⩽h(x{)}_{\min }$。无法直接分离参数时，可采用端点效应或分类讨论法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2024-甲卷理-21 解-导数端点效应
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13