2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长

本题导读

考查抛物线弦长。$y=x-1$ 代入 $y^2=2x$ 得 $x^2-4x+1=0$，$|MN|=\sqrt{2}|x_1-x_2|=2\sqrt{6}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 过点 $A(1,0)$ 作倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$ 的直线，与抛物线 $y^2=2x$ 交于 $M$、$N$ 两点，则 $|MN|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线 $y=x-1$。代入 $y^2=2x$：$(x-1{)}^2=2x$，即 $x^2-4x+1=0$。
2. $x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=1$，$|x_1-x_2|=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。
3. 弦长 $|MN|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{6}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

直线过 $A(1,0)$、倾斜角 $\frac{\pi }{4}$，斜率 $k=1$，方程为 $y=x-1$。 代入 $y^2=2x$：$(x-1{)}^2=2x$，整理得 $x^2-4x+1=0$。 由韦达定理 $x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=1$，故 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。 弦长 $|MN|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线的弦长

核心方法：联立消元 + 韦达 + 弦长公式

避坑指南：$k=1$ 时 $|MN|=\sqrt{2}|x_1-x_2|$，$\sqrt{1+k^2}$ 因子别漏；$x^2-4x+1=0$ 的判别式 $12$ 开方是 $2\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过定点的弦长计算是圆锥曲线小题主力。

结论推广：$|MN|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$。

方法推广：$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，答案 $2\sqrt{6}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2011-山东卷文-09 单-抛物线定义与圆
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线