2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点

本题导读

圆锥曲线解答题。(1) $e=\sqrt{3}$、准线 $x=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 定 $a=1$；(2) 联立消元后中点 $(m,2m)$，代入圆得 $m=\pm 1$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\sqrt{3}$，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)已知直线 $x-y+m=0$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，且线段 $AB$ 的中点在圆 $x^2+y^2=5$ 上，求 $m$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. (1) 准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $a=1$；$c=\sqrt{3}$，$b^2=2$。
2. (2) 代入 $y=x+m$：$x^2-2mx-m^2-2=0$，$\Delta >0$ 恒成立；$x_1+x_2=2m$，中点 $(m,2m)$。
3. 中点在圆上：$m^2+4m^2=5\Rightarrow m=\pm 1$。

✅【答案】

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(1) $x^2-\frac{y^2}{2}=1$；(2)$m=1$ 或 $m=-1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $a=1$，$c=\sqrt{3}$，$b^2=c^2-a^2=2$。 双曲线 $C$ 的方程为 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$。

（2） 由 $x-y+m=0$ 得 $y=x+m$，代入双曲线方程： $x^2-\frac{(x+m{)}^2}{2}=1⟹x^2-2mx-m^2-2=0.$ 判别式 $\Delta =4m^2+4(m^2+2)=8(m^2+1)>0$，故对任意 $m$ 均有两不同交点。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=2m$，且 $y_i=x_i+m$，故中点 $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=(m,2m).$ 由 $M$ 在圆 $x^2+y^2=5$ 上： $m^2+(2m{)}^2=5⟹5m^2=5⟹m=\pm 1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的标准方程与准线、直线与双曲线的位置关系

核心方法：$x=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 定 $a$ + 韦达定理求中点

避坑指南：准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}$，由 $e=\sqrt{3}$ 解出 $a=1$；中点横纵坐标都要用韦达定理表达（$y_i=x_i+m$），只算横坐标会卡住。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由离心率与准线定方程是圆锥曲线第一问常见形式。

结论推广：准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$；中点公式配合韦达定理。

方法推广：中点在圆上这类条件把解析几何与圆串起来，消元后判别式恒正可省去范围讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点
• 2012-山东卷文-21 解-椭圆与直线位置关系