2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立

本题导读

导数综合。(1) $f^{\prime }(x)=(x-2)(x-2a)$，$a>1$ 时三段讨论；(2) $x⩾0$ 上最小值在 $x=2a$ 处，$f(2a)=-\frac{4a}{3}(a-6)(a+3)>0$ 解出 $1<a<6$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-(1+a)x^2+4ax+24a$，其中常数 $a>1$.

(1)讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)若当 $x⩾0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)$；$a>1$ 时 $2<2a$，得增、减区间。
2. (2) $f(0)=24a>0$；$[0,2]$ 上 $f$ 递增；$[2,2a]$ 上递减到最小值 $f(2a)$；$[2a,+\infty )$ 上递增。
3. $f(2a)=-\frac{4a}{3}(a-6)(a+3)>0⟺a<6$，结合 $a>1$ 得 $1<a<6$。

✅【答案】

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(1) $f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 与 $(2a,+\infty )$ 上单调递增，在 $(2,2a)$ 上单调递减 (2) $1<a<6$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f^{\prime }(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)$。 由 $a>1$ 知 $2<2a$。令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=2$ 或 $x=2a$。

• 当 $x<2$ 或 $x>2a$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $2<x<2a$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 与 $(2a,+\infty )$ 上单调递增，在 $(2,2a)$ 上单调递减。

（2） $f(0)=24a>0$。由（1）：

• 在 $[0,2]$ 上 $f(x)$ 单调递增，$f(x)⩾f(0)>0$；
• 在 $[2,2a]$ 上 $f(x)$ 单调递减，$f(x)⩾f(2a)$；
• 在 $[2a,+\infty )$ 上 $f(x)$ 单调递增，$f(x)⩾f(2a)$。 故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上的最小值为 $f(2a)$（$2a>2$）。 $f(2a)=\frac{8a^3}{3}-4a^2(1+a)+8a^2+24a=-\frac{4a^3}{3}+4a^2+24a=-\frac{4a}{3}(a-6)(a+3).$ 由 $a>1$ 知 $\frac{4a}{3}>0$、$a+3>0$，故 $f(2a)>0⟺a-6<0⟺a<6$。 综上，$a$ 的取值范围是 $(1,6)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与恒成立

核心方法：因式分解判号 + 区间最小值控制

避坑指南：$x⩾0$ 上的最小值在 $x=2a$ 处（$2a>2$），恒成立只看 $f(2a)>0$；别对整段区间硬解不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数单调区间与恒成立是导数大题基础款。

结论推广：$f^{\prime }(x)=(x-2)(x-2a)$ 的两根顺序由 $a$ 与 $1$ 的大小决定，本题 $a>1$ 已定序。

方法推广：恒成立 $⟺$ 最小值 $>0$（严格不等式），端点能否取到要检查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立