2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称

本题导读

考查图象变换。$T=\pi$ 得 $\omega =2$；左移后为偶函数：$2|\phi |+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，取 $|\phi |=\frac{\pi }{8}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$（$x\in \mathbf{R}$，$\omega >0$）的最小正周期为 $\pi$.将 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $|\phi |$ 个单位长度，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $\phi$ 的一个值是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{3\pi }{8}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi \Rightarrow \omega =2$。
2. 左移后 $g(x)=\sin \left(2x+2|\phi |+\frac{\pi }{4}\right)$ 为偶函数：$2|\phi |+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$。
3. $|\phi |=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$，$k=0$ 时 $|\phi |=\frac{\pi }{8}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由最小正周期 $\pi$ 得 $\omega =\frac{2\pi }{\pi }=2$。 左移 $|\phi |$ 个单位后所得函数为 $g(x)=\sin \left(2x+2|\phi |+\frac{\pi }{4}\right)$，其图象关于 $y$ 轴对称，即 $g(x)$ 是偶函数。 正弦型函数为偶函数当且仅当 $2|\phi |+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）， 解得 $|\phi |=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$。取 $k=0$ 得 $|\phi |=\frac{\pi }{8}$，故 $\phi$ 的一个值是 $\frac{\pi }{8}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的图象变换与对称性

核心方法：周期定 $\omega$ + 偶函数条件定 $\phi$

避坑指南：左移 $|\phi |$ 后相位为 $2x+2|\phi |+\frac{\pi }{4}$，偶函数条件是相位于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，别只令相位为 $k\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象平移 + 对称是三角小题的常见组合。

结论推广：$y=\sin x$ 关于 $y$ 轴对称 $⟺$ 平移后为偶函数 $⟺$ 相位 $=\frac{\pi }{2}+k\pi$。

方法推广：$\phi$ 取”一个值”即可，先给 $|\phi |$ 的通解再从选项里挑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移
• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合
• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称