2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率

本题导读

考查双曲线离心率。$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$，四个选项的 $e^2$ 依次为 $3$，$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$，${\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 下列曲线中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 的是 ()

A. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$　　C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$　　D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{10}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线中 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$（$a^2$ 为正平方项分母）。
2. 四个选项 $e^2$ 依次为 $1+\frac{4}{2}=3$，$1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$，$1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}$，$1+\frac{10}{4}=\frac{7}{2}$。
3. ${\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$，对应 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的离心率满足 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$，其中 $a^2$ 是正平方项的分母，$b^2$ 是负平方项的分母。 四个选项对应的 $e^2$ 依次为 $1+\frac{4}{2}=3$，$1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$，$1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}$，$1+\frac{10}{4}=\frac{7}{2}$。 由于 ${\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$，故选 B （注：选项 C 原卷印 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$，不影响本题答案。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$ 逐项验算

避坑指南：分清正平方项分母是 $a^2$：A 项 $e^2=1+\frac{4}{2}=3$，别把 $\frac{2}{4}$ 与 $\frac{4}{2}$ 看混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率是圆锥曲线小题的高频考点。

结论推广：双曲线 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$，椭圆 $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$，一加一减方向别反。

方法推广：给出 $e$ 值先平方，化成与 $a^2$、$b^2$ 直接比较的形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率