2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积

本题导读

考查球内四面体体积最值。$V=\frac{2}{3}|\mathbf{u}\cdot (\mathbf{w}\times \mathbf{v})|⩽\frac{2}{3}\times 1\times 2\sqrt{3}\times 1=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知在半径为 $2$ 的球面上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点，若 $AB=CD=2$，则四面体 $ABCD$ 的体积的最大值为()

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　D. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M,N$ 为 $AB,CD$ 中点，$OM=ON=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
2. 记 $\mathbf{u}=\overrightarrow{MA}$，$\mathbf{v}=\overrightarrow{NC}$（模均为 $1$），$\mathbf{w}=\overrightarrow{MN}$。
3. $6V=4|(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}|⩽4|\mathbf{w}|⩽4\times 2\sqrt{3}$。
4. $V⩽\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 两两垂直时取到。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设球心为 $O$，$M,N$ 分别为弦 $AB,CD$ 的中点。 由球半径 $2$ 且 $AB=CD=2$，得 $OM=ON=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 设 $\overrightarrow{MA}=\mathbf{u}$，$\overrightarrow{NC}=\mathbf{v}$，$|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=1$，记 $\mathbf{w}=\overrightarrow{MN}$。 由混合积公式， $V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})\right|=\frac{2}{3}|(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}|⩽\frac{2}{3}|\mathbf{u}||\mathbf{v}||\mathbf{w}|.$ 又 $|\mathbf{w}|⩽|OM|+|ON|=2\sqrt{3}$，故 $V⩽\frac{2}{3}\times 1\times 1\times 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$ 当 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 两两垂直且 $M,N$ 位于球心两侧时等号成立， 故体积的最大值为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的弦与截面性质、四面体体积最值

核心方法：中点连线结构 $+$ 混合积放缩

避坑指南：$|\overrightarrow{MN}|⩽|OM|+|ON|=2\sqrt{3}$ 用的是三角不等式，等号要求 $M,O,N$ 共线且 $O$ 在中间，别误当恒等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球内弦的中点与球心连线垂直于弦，$OM=\sqrt{R^2-(AB/2{)}^2}$。

结论推广：四面体体积的混合积公式 $V=\frac{1}{6}|(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|$ 是放缩利器。

方法推广：取等条件（三向量两两垂直）必须验证能落在球面上，放缩才算有效。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-20 解-四棱锥与球
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角