2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角

本题导读

本题考查直三棱柱的性质，以及线面平行的判定。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=A{A}_1=1$. 延长 $A_1{C}_1$ 至点 $P$，使 $C_{1}P=A_1{C}_1$，连接 $AP$ 交棱 $C{C}_1$ 于点 $D$.

(1)求证：$P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$；

(2)求二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：建系求出 $D$ 为 $C{C}_1$ 中点
2. 步骤2：验证 $\overrightarrow{P{B}_1}$ 与平面 $BD{A}_1$ 法向量垂直
3. 步骤3：二面角用两个半平面的法向量夹角余弦

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 余弦值为 $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle BAC=90^{\circ }$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AC$、$A{A}_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建系。 则 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(0,1,1)$。 由 $C_{1}P=A_1{C}_1=1$ 且 $P$ 在 $A_1{C}_1$ 延长线上，得 $P(0,2,1)$。 直线 $AP$：参数式 $(0,2t,t)$；交棱 $C{C}_1$（即 $x=0$，$y=1$）于 $D$，由 $2t=1$ 得 $t=\frac{1}{2}$，故 $D\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，$D$ 为 $C{C}_1$ 的中点，$CD=C_{1}D=\frac{1}{2}$。 （1）$\overrightarrow{P{B}_1}=B_1-P=(1,-2,0)$。 设平面 $BD{A}_1$ 的法向量为 $n=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{A_{1}D}=\left(0,1,-\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$。 由 $n\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=0$ 且 $n\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0$，取 $n=\left(-1,-\frac{1}{2},-1\right)$。 $n\cdot \overrightarrow{P{B}_1}=-1\times 1+\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-2)+(-1)\times 0=-1+1+0=0$， 且 $P\notin$ 平面 $BD{A}_1$，故 $P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$。 （2）平面 $A{A}_{1}D$ 过 $A(0,0,0)$、$A_1(0,0,1)$、$D\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，即坐标面 $x=0$，其法向量可取 $m=(1,0,0)$。 平面 $BD{A}_1$ 的法向量为 $n=\left(-1,-\frac{1}{2},-1\right)$（由（1））。 $\cos ⟨m,n⟩=\frac{m\cdot n}{|m||n|}=\frac{-1}{1\times \frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$。 结合图形判断二面角 $A-A_{1}D-B$ 为锐二面角：把 $n$ 反向为 $-n=\left(1,\frac{1}{2},1\right)$，使其指向含 $B$ 的一侧， 此时 $m$ 与 $-n$ 的夹角余弦为 $\frac{(1,0,0)\cdot \left(1,\frac{1}{2},1\right)}{1\times \frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$。 故二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱的坐标建模；线面平行的向量判定（方向向量与法向量垂直且线在面外）；二面角的法向量求法。

核心方法：建系写出全部关键点 → 中点条件定位 $D$ → 法向量配对算角。

避坑指南：$P(0,2,1)$ 的纵坐标来自 $C_{1}P=A_1{C}_1$ 的延长方向，写成 $P(0,-1,1)$ 之类是方向搞反；二面角最后要按图形定锐钝：平面 $A{A}_{1}D$ 与平面 $BD{A}_1$ 的法向量点积为负，取指向一致的 outward 方向后余弦为正 $\frac{2}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中的平行证明与二面角计算是立体几何解答题标准组合，2012 辽宁文 18、2012 陕西文 18 与本题同框架。

结论推广：本题 $D$ 恰为 $C{C}_1$ 中点源于 $C_{1}P=A_1{C}_1$：在 $△P{A}_{1}A$ 中 $C_1$ 为 $P{A}_1$ 中点、$C{C}_1\parallel A{A}_1$，故 $D$ 必为 $PA$ 中点，这正是「中位线」的立体版本，可用纯几何法替代坐标。

方法推广：棱柱建系先写「三条棱两两垂直」的依据；平行证明用「法向量点积为零 + 线在面外」两句话完整收口；二面角务必用图形校验锐钝。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-18 解-直三棱柱平行与体积
• 2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积
• 2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离