2011-大纲卷文-04 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽6,\\ x-3y⩽-2,\\ x⩾1,\end{array}$ 则 $z=2x+3y$ 的最小值为 ()

A. $17$　　　　　　　B. $14$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：画可行域三顶点
2. 步骤2：逐一计算 $z=2x+3y$ 取最小

✅【答案】

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C最小值 $z=5$（在点 $(1,1)$ 处取得）

✍【详细解析】

Abstract

三条边界 $x+y=6$、$x-3y=-2$、$x=1$ 两两相交：

$x=1$ 与 $x-3y=-2$ 交于 $(1,1)$；$x=1$ 与 $x+y=6$ 交于 $(1,5)$；$x+y=6$ 与 $x-3y=-2$ 交于 $(4,2)$。

可行域为三角形区域。目标函数 $z=2x+3y$ 在顶点处取值：$z(1,1)=5$，$z(1,5)=17$，$z(4,2)=14$，最小值 $5$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划：可行域顶点法求目标函数最值

核心方法：直线围顶点、顶点代目标：线性目标函数的最值必在可行域顶点处取得

避坑指南：联立解方程组时别解错配对（三条直线有三种配对）；本题若把 $(1,1)$ 漏掉、只算另外两个顶点会误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划每年必考，与 2011-新课标卷文-14（线性规划）、2012-大纲卷文-14（线性规划最值）、2012-新课标卷文-05 同族。

结论推广：推广：目标函数含绝对值或参数 $z=ax+3y$ 时，用斜率族平移分析；截距法 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$ 看 $y$ 轴截距方向。

方法推广：线性规划小题：先画三条边界直线并标出可行域，再求全部顶点坐标逐一代入目标函数，取最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划
• 2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划