2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=AD$，$\angle BAD=60^{\circ }$，$E$，$F$ 分别是 $AP$，$AD$ 的中点.求证：

(1) 直线 $EF\parallel$ 平面 $PCD$；

(2) 平面 $BEF\perp$ 平面 $PAD$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 中位线得 $EF\parallel PD$
2. 步骤2：再线面平行
3. 步骤3：(2) 正三角形三线合一得 $BF\perp AD$
4. 步骤4：再面面垂直性质与判定

✅【答案】

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见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）在 $△PAD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AP$，$AD$ 的中点，所以 $EF$ 是 $△PAD$ 的中位线，故 $EF\parallel PD$。

又 $EF\text{noot}\subset$ 平面 $PCD$，$PD\subset$ 平面 $PCD$，所以直线 $EF\parallel$ 平面 $PCD$。

（2）在 $△ABD$ 中，$AB=AD$，$\angle BAD=60^{\circ }$，所以 $△ABD$ 是等边三角形。

又 $F$ 是 $AD$ 的中点，所以 $BF\perp AD$。

因为平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，平面 $PAD\cap$ 平面 $ABCD=AD$，$BF\subset$ 平面 $ABCD$，$BF\perp AD$，由面面垂直的性质定理，$BF\perp$ 平面 $PAD$。

又 $BF\subset$ 平面 $BEF$，由面面垂直的判定定理，平面 $BEF\perp$ 平面 $PAD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定定理；面面垂直的性质定理；面面垂直的判定定理

核心方法：两步转化：线线平行 → 线面平行；线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直

避坑指南：证线面平行必须写全”线在面外”与”线在面内”两个条件，漏写会失步骤分；用面面垂直的性质定理时必须指明交线 $AD$ 与直线所在的平面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间位置关系证明题，与 2012 年江苏卷第 16 题、2013 年江苏卷第 16 题、2014 年江苏卷第 16 题同族。

结论推广：若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，$\alpha \cap \beta =l$，则 $\beta$ 内与 $l$ 垂直的直线必垂直于 $\alpha$（等腰或正多边形的中线常充当这条垂线）。

方法推广：立体几何证明题先在草图中标出中点、等腰等结构特征，再按”线线 → 线面 → 面面”的升降级链条书写，每个定理的三个条件逐一落实。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行
• 2013-江苏卷-16 解-面面平行判定
• 2014-江苏卷-16 解-直线与平面平行判定