2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积

本题导读

本题考查三视图，以及组合体的体积。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()

A. $9\pi +42$　　　　　B. $36\pi +18$　　　　　C. $\frac{9\pi }{2}+12$　　　　　D. $\frac{9\pi }{2}+18$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由三视图还原”正四棱柱 + 球”的组合体
2. 步骤2：分别求体积再相加

✅【答案】

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D$\frac{9\pi }{2}+18$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图（俯视图为边长 $3$ 的正方形，正、侧视图为高 $2$ 的矩形）可知，几何体是一个底面边长为 $3$、高为 $2$ 的正四棱柱与一个半径为 $\frac{3}{2}$ 的球的组合体。

正四棱柱体积 $V_1=3\times 3\times 2=18$。

球体积 $V_2=\frac{4}{3}\pi \times {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=\frac{9\pi }{2}$。

故 $V=18+\frac{9\pi }{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原组合体；柱体与球的体积公式

核心方法：俯视图定底面形状与尺寸，正（侧）视图定高度，识别组成后再分块求体积

避坑指南：组合体体积是”相加”而不是”相减”——两个基本几何体各算各的再合并；球的半径读自视图中圆的尺寸（直径 $3$，半径 $\frac{3}{2}$），把直径当半径会算出 $36\pi$ 量级的错误结果（选项 B 即此陷阱）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图组合体题与 2012-湖南卷文-04、2012-新课标卷文-07、2012-广东卷文-07 同族。

结论推广：推广：三视图小题中，“俯视图是正方形（外框）+ 圆”常对应柱体与球的组合，圆的直径读自俯视图、高度读自正视图，两图数据互为校验。

方法推广：三视图体积题：先还原为”柱 / 锥 / 台 / 球”的组合，再逐块套公式；最后量纲对一眼（体积应含长度三次方）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-04 单-三视图组合体判断
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2012-广东卷文-07 单-三视图求体积