2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的标准方程与焦点坐标。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点到双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的渐近线的距离是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线焦点：
   • 抛物线方程为 $y^2=2px$ 形式，其中 $2p=4$，得 $p=2$。
   • 焦点坐标为 $(\frac{p}{2},0)$，即 $F(1,0)$。
2. 确定双曲线渐近线：
   • 双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a^2=1,b^2=3$。
   • 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{3}x$。
   • 转化为一般式：$\sqrt{3}x\pm y=0$。
3. 计算距离：
   • 使用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将点 $(1,0)$ 代入渐近线方程中。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求抛物线焦点坐标 对于抛物线 $y^2=4x$，其开口向右，焦点在 $x$ 轴正半轴上。 $2p=4⟹p=2$。 焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2},0)=(1,0)$。

第二步：求双曲线渐近线方程 对于双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$，其中心在原点，实轴在 $x$ 轴上。 $a=1,b=\sqrt{3}$。 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{3}x$。 化为一般式方程为：$\sqrt{3}x+y=0$ 或 $\sqrt{3}x-y=0$。

第三步：计算点到直线的距离 由对称性可知，焦点到两条渐近线的距离相等。取直线 $\sqrt{3}x-y=0$，点 $F(1,0)$ 到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 1-0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：掌握抛物线焦点公式 $F(\frac{p}{2},0)$ 及双曲线渐近线公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

核心方法：“代数公式化”。解析几何的基础题型通常只需分步写出关键几何量，最后套用距离公式。

避坑指南：- 抛物线焦点不要记成 $(p,0)$ 或 $(\frac{1}{4},0)$。 - 双曲线渐近线斜率不要记成 $\pm \frac{a}{b}$（焦点在 $x$ 轴时为 $\pm \frac{b}{a}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点 $c$ 到渐近线 $bx\pm ay=0$ 的距离恒等于虚半轴长 $b$。注意本题中是“抛物线焦点”而非“双曲线自身焦点”。

方法推广：若题目求焦点到两条渐近线的距离之积，通常具有更简洁的解析性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2015-陕西卷文-03 单-抛物线焦点
• 2014-陕西卷文-11 填-抛物线准线