2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性

本题导读

本题考查数列的性质，以及数列的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)）设 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ ， $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}$ ， $n = 1, 2, 3...$ .若 $b_{1} > c_{1}$ ， $b_{1} + c_{1} = 2 a_{1}$ ， $a_{n + 1} = a_{n}$ ， $b_{n + 1} = \frac{c _{n} + a _{n}}{2}$ ， $c_{n + 1} = \frac{b _{n} + a _{n}}{2}$ ，则()

A. ${S_{n}}$ 为递减数列

B. ${S_{n}}$ 为递增数列

C. ${S_{2 n - 1}}$ 为递增数列， ${S_{2 n}}$ 为递减数列

D. ${S_{2 n - 1}}$ 为递减数列， ${S_{2 n}}$ 为递增数列

🔍【思路分析】

破题导航

分析边长递推关系：

由 $a_{n + 1} = a_{n}$ 可知边长 $a_{n}$ 为定值，即 $a_{n} = a_{1}$ 。

考察两边之和： $b_{n + 1} + c_{n + 1} = \frac{c _{n} + a _{n} + b _{n} + a _{n}}{2} = \frac{b _{n} + c _{n}}{2} + a_{1}$ 。

由 $b_{1} + c_{1} = 2 a_{1}$ 递推可证 $b_{n} + c_{n} = 2 a_{1}$ 对所有 $n$ 均成立。

构建几何模型：

在 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 中，底边 $B_{n} C_{n} = a_{1}$ 是定值，两腰之和 $b_{n} + c_{n} = 2 a_{1}$ 也是定值。

满足“到两个定点（ $B_{n}, C_{n}$ ）距离之和等于定值（ $2 a_{1}$ ）”的点 $A_{n}$ 的轨迹是以 $B_{n}, C_{n}$ 为焦点的椭圆。

判定面积趋势：

面积 $S_{n} = \frac{1}{2} a_{1} \cdot h_{n}$ ，其中 $h_{n}$ 是顶点 $A_{n}$ 到底边的距离。

考察 $b_{n}, c_{n}$ 的差异： $b_{n + 1} - c_{n + 1} = \frac{c _{n} + a _{n}}{2} - \frac{b _{n} + a _{n}}{2} = \frac{c _{n} - b _{n}}{2} = - \frac{1}{2} (b_{n} - c_{n})$ 。

这是一个公比为 $- \frac{1}{2}$ 的等比数列，说明 $∣ b_{n} - c_{n} ∣$ 随着 $n$ 的增大而趋近于 0，即三角形向等腰三角形靠近。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：证明三角形周长及底边为定值 由题意， $a_{n + 1} = a_{n} = ... = a_{1}$ 。又 $b_{n + 1} + c_{n + 1} = \frac{b _{n} + c _{n} + 2 a _{n}}{2} = \frac{b _{n} + c _{n}}{2} + a_{1}$ 。已知 $b_{1} + c_{1} = 2 a_{1}$ 。设 $L_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，则 $L_{n + 1} = \frac{1}{2} L_{n} + a_{1}$ 。此递推式的特征方程为 $x = \frac{1}{2} x + a_{1} ⟹ x = 2 a_{1}$ 。由于 $L_{1} = 2 a_{1}$ ，故 $L_{n} = 2 a_{1}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立。

第二步：分析三角形的形状演变 考察两腰差的绝对值： $b_{n + 1} - c_{n + 1} = - \frac{1}{2} (b_{n} - c_{n})$ 。则 $b_{n} - c_{n} = (b_{1} - c_{1}) (- \frac{1}{2})^{n - 1}$ 。随着 $n$ 增大， $∣ b_{n} - c_{n} ∣ \to 0$ ，这意味着 $b_{n}$ 与 $c_{n}$ 越来越接近，三角形趋向于等腰三角形。

第三步：利用海伦公式分析面积 $S_{n}$ 半周长 $p_{n} = \frac{a _{n} + b _{n} + c _{n}}{2} = \frac{a _{1} + 2 a _{1}}{2} = \frac{3}{2} a_{1}$ （定值）。根据海伦公式 $S_{n} = p (p - a_{n}) (p - b_{n}) (p - c_{n})$ ： $S_{n} = \frac{3}{2} a_{1} \cdot (\frac{3}{2} a_{1} - a_{1}) \cdot (\frac{3}{2} a_{1} - b_{n}) \cdot (\frac{3}{2} a_{1} - c_{n})$ $S_{n} = \frac{3}{2} a_{1} \cdot \frac{1}{2} a_{1} \cdot [(\frac{3}{2} a_{1})^{2} - \frac{3}{2} a_{1} (b_{n} + c_{n}) + b_{n} c_{n}]$ 代入 $b_{n} + c_{n} = 2 a_{1}$ ： $S_{n} = \frac{3}{4} a_{1}^{2} \cdot (\frac{9}{4} a_{1}^{2} - 3 a_{1}^{2} + b_{n} c_{n}) = \frac{3}{4} a_{1}^{2} \cdot (b_{n} c_{n} - \frac{3}{4} a_{1}^{2})$ 。要判定 $S_{n}$ 的单调性，只需判定 $b_{n} c_{n}$ 的单调性。因为 $b_{n} + c_{n} = 2 a_{1}$ 为定值，且 $∣ b_{n} - c_{n} ∣$ 逐渐减小。根据“和同近积大”，当两数和一定时，差越小，积越大。因为 $∣ b_{n + 1} - c_{n + 1} ∣ < ∣ b_{n} - c_{n} ∣$ ，所以 $b_{n + 1} c_{n + 1} > b_{n} c_{n}$ 。因此 $S_{n + 1} > S_{n}$ ，数列 ${S_{n}}$ 为递增数列。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推关系的化简与性质判定；三角形面积在周长一定时的变化规律。

核心方法：构造定值法。发现 $b_{n} + c_{n} = 2 a_{1}$ 是破解本题的命门。

避坑指南：不要陷入复杂的解析式计算，应利用“等周定理”的推论：在周长一定且底边固定的三角形中，等腰三角形面积最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：海伦公式、算术平均数与几何平均数不等式（均值不等式）。

结论推广：在椭圆轨迹模型中，当动点位于短轴端点（即三角形等腰）时，三角形面积取得最大值。

方法推广：特殊值法。取 $a_{1} = 2, b_{1} = 3, c_{1} = 1$ （注意需满足三角形不等式且题目给出的条件），计算 $S_{1}, S_{2}$ 即可排除 A、C、D。

🔗【关联脉络】

Multi column

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18.01 椭圆专题全总结

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2014-辽宁卷文-09 单-数列单调

2023-新高考I卷-20 解-数列

2014-福建卷文-17 解-数列

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