2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 设 $P$ 是圆 $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$ 上的动点，$Q$ 是直线 $x=-3$ 上的动点，则 $|PQ|$ 的最小值为()

A. $6$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 圆心 $A(3,-1)$，$r=2$；圆心到直线 $x=-3$ 的距离 $d=6$。
2. $|PQ{|}_{\min }=d-r=4$ → B。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

圆 $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$ 的圆心为 $A(3,-1)$，半径 $r=2$。 圆心 $A$ 到直线 $x=-3$ 的距离 $d=|3-(-3)|=6>2,$ 所以直线与圆相离。 当 $Q$ 取圆心在直线上的射影 $H(-3,-1)$、$P$ 取线段 $AH$ 与圆的交点（靠直线一侧）时，$|PQ|$ 最小： $|PQ{|}_{\min }=d-r=6-2=4.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上动点与直线上动点的最短距离

核心方法：圆心 $A(3,-1)$，半径 $r=2$，直线 $x=-3$。圆心到直线的距离 $d=|3-(-3)|=6$，故 $|PQ{|}_{\min }=d-r=6-2=4$

避坑指南：两个动点的最短距离 = 圆心到直线的距离 $-$ 半径；方向别搞反——直线在圆的左侧（$x=-3$），最近点是圆上靠左的点；若误用 $d+r$ 会得 $8$（无此选项，说明思路错了要回头查）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线上两动点距离的最小值。

结论推广：点到直线的距离公式；圆的几何性质（$d-r$ 型最值）。

方法推广：定圆心与半径 → 求圆心到直线距离 → 减去半径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-05 单-圆的切线垂直
• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2013-浙江卷文-13 填-圆的弦长