2014-天津卷文-19 解-导数综合

本题导读

(1) 求导解 $f\acute{(}x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{a}$；(2) 先由 $f(x_1)$ 恒负定出 $a⩾\frac{3}{4}$，再比较 $\frac{1}{3a^2}$ 与 $1-\frac{2a}{3}$ 的正负。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2-\frac{2}{3}a{x}^3$（$a>0$），$x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值；

(2) 若对于任意的 $x_1\in (2,+\infty )$，都存在 $x_2\in (1,+\infty )$，使得 $f(x_1)\cdot f(x_2)=1$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $f\acute{(}x)=2x-2a{x}^2=2x(1-ax)$；(2) $a⩾\frac{3}{4}$ 时 $x_1>2$ 必有 $f(x_1)<0$。

✅【答案】

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(1) 单调递减区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$，单调递增区间为 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$；极小值为 $f(0)=0$，极大值为 $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3a^2}$；(2) $\left[\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f\acute{(}x)=2x-2a{x}^2=2x(1-ax)$。因为 $a>0$，令 $f\acute{(}x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{a}$。 当 $x<0$ 或 $x>\frac{1}{a}$ 时 $f\acute{(}x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $0<x<\frac{1}{a}$ 时 $f\acute{(}x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值 $f(0)=0$，在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得极大值 $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{3}a\times \frac{1}{a^3}=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{3a^2}=\frac{1}{3a^2}$。 (2) 记 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上的值域为 $R$。题意等价于：对一切 $x_1>2$，都有 $\frac{1}{f(x_1)}\in R$。 ① 因为 $f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上单调递减，欲使 $x_1>2$ 时 $f(x_1)$ 恒为负，须 $\frac{1}{a}⩽2$ 且 $f(2)⩽0$。 而 $f(2)=4-\frac{16a}{3}⩽0⟺a⩾\frac{3}{4}$，此时 $\frac{1}{a}⩽\frac{4}{3}<2$ 自动成立。 所以当 $a⩾\frac{3}{4}$ 时，对一切 $x_1>2$ 有 $f(x_1)<f(2)⩽0$，从而 $\frac{1}{f(x_1)}<0$ 且可取遍 $(0$ 的左侧$)$ 任意接近 $0$ 的值。 ② 再要求这些值都落在 $R$ 中： 　当 $\frac{3}{4}⩽a<1$ 时，$\frac{1}{a}>1$，$f(x)$ 在 $\left(1,\frac{1}{a}\right)$ 上递增、在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上递减，$R=\left(-\infty ,\frac{1}{3a^2}\right]$，其中 $\frac{1}{3a^2}>0$，包含一切负数，条件成立； 　当 $a⩾1$ 时，$\frac{1}{a}⩽1$，$f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，$R=\left(-\infty ,1-\frac{2a}{3}\right]$，须 $1-\frac{2a}{3}⩾0$，即 $a⩽\frac{3}{2}$。 当 $a>\frac{3}{2}$ 时 $1-\frac{2a}{3}<0$，取 $x_1$ 充分大可使命题中的 $\frac{1}{f(x_1)}$ 落在 $\left(1-\frac{2a}{3},0\right)$ 内，不属于 $R$，不合题意。 综上，$a$ 的取值范围是 $\left[\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数研究函数的单调性与极值

2. 核心方法：值域（存在性）角度处理恒成立问题

3. 避坑指南：第 (2) 问的条件是“对任意的 $x_1\in (2,+\infty )$，存在 $x_2\in (1,+\infty )$”，须先判断 $f(x_1)$ 的符号（要求 $a⩾\frac{3}{4}$），再要求 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上的值域包含 $\frac{1}{f(x_1)}$ 的全部取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数与函数的单调性、极值；值域与存在性问题。

2. 结论推广: $f\acute{(}x)=2x(1-ax)$，$f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上递增、在 $(-\infty ,0)$ 与 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上递减；$f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3a^2}$。

3. 方法推广: “任取 $+$ 存在”型问题把 $\frac{1}{f(x_1)}$ 当成一个数，转化为“该数取自 $f$ 在指定区间上的值域”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-21 解-导数零点
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合