2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭

本题导读

本题考查共轭复数的定义以及复数的平方运算。通过共轭复数的定义确定未知参数，再利用完全平方公式进行代数化简。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知 $a,b\in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位，若 $a-i$ 与 $2+bi$ 互为共轭复数，则 $(a+bi{)}^2=$ ()

A. $5-4i$　　　　　B. $5+4i$　　　　　C. $3-4i$　　　　　D. $3+4i$

🔍【思路分析】

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1. 利用共轭复数定义：互为共轭复数的两个复数，实部相等，虚部互为相反数。由此建立关于 $a,b$ 的方程。
2. 代入计算：求出 $a$ 和 $b$ 的值后，将其代入待求式 $(a+bi{)}^2$。
3. 展开化简：利用复数乘法的完全平方公式展开，注意 $i^2=-1$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $a$ 和 $b$ 的值 因为 $a-i$ 与 $2+bi$ 互为共轭复数， 根据共轭复数的定义：

• 实部对应相等：$a=2$；
• 虚部对应互为相反数：$-1=-b$，解得 $b=1$。

第二步：进行平方运算 将 $a=2,b=1$ 代入表达式 $(a+bi{)}^2$ 得： $(2+i{)}^2$ 利用完全平方公式展开： $(2+i{)}^2=2^2+2\times 2\times i+i^2$ $=4+4i+(-1)$ $=3+4i$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数 $z=x+yi$ 的共轭复数为 $\bar{z}=x-yi$。

2. 核心方法：处理复数概念题时，通常利用“复数相等”或“共轭”将虚数问题转化为实数方程组求解。

3. 避坑指南：注意虚部的正负号。本题中 $a-i$ 的虚部是 $-1$，而 $2+bi$ 的共轭复数是 $2-bi$，其虚部为 $-b$，故有 $-1=-b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。

2. 结论推广: 若复数 $z$ 满足 $(z{)}^2$ 为纯虚数，则其对应点在坐标轴角平分线上。

3. 方法推广: 在高次方运算中，若底数是 $1\pm i$ 等特殊形式，可优先考虑先平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-02 单-共轭复数
• 2015-上海卷文-03 填-共轭复数
• 2014-陕西卷文-03 单-共轭复数