2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问要求通过线面垂直的性质证明线段相等；第二问在给出垂直关系及角度后，通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解二面角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 为菱形，$AB\perp B_{1}C$. (1) 证明：$AC=A{B}_1$；

(2) 若 $AC\perp A{B}_1$，$\angle CB{B}_1=60^{\circ }$，$AB=BC$，求二面角 $A-A_1{B}_1-C_1$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明相等
   • 菱形对角线互相垂直，得 $B{C}_1\perp B_{1}C$ 且交于中点 $O$。
   • 已知 $AB\perp B_{1}C$，则 $B_{1}C$ 垂直于平面 $AB{C}_1$。
   • 推出 $B_{1}C\perp AO$，在 $△A{B}_{1}C$ 中，$AO$ 既是高又是中线，故为等腰三角形。
2. 第二问：二面角计算
   • 坐标系建立：利用第一问中的垂直关系 $OA,OB,O{B}_1$ 两两垂直（需验证 $OA\perp OB$），以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
   • 点坐标确定：由 $\angle CB{B}_1=60^{\circ }$ 判定 $△CB{B}_1$ 性质，结合 $AB=BC$ 设出单位长度。
   • 向量运算：求出平面 $A{A}_1{B}_1$ 和平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的法向量。
   • 夹角公式：利用 $\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}$ 求解，注意二面角的钝锐判断。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明 $AC=A{B}_1$；第 (2) 小题：求二面角余弦值；建立坐标系；确定点坐标

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明 $AC=A{B}_1$ 连结 $B{C}_1$，设 $B{C}_1\cap B_{1}C=O$。 因为侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 为菱形，所以 $B_{1}C\perp B{C}_1$，且 $O$ 为 $B_{1}C$ 的中点。 又已知 $AB\perp B_{1}C$，且 $AB\cap B{C}_1=B$。 所以 $B_{1}C\perp$ 平面 $AB{C}_1$。 因为 $AO\subset$ 平面 $AB{C}_1$，所以 $B_{1}C\perp AO$。 在 $△A{B}_{1}C$ 中，$AO\perp B_{1}C$ 且 $O$ 是 $B_{1}C$ 的中点， 根据线段垂直平分线的性质（或全等三角形），得 $AC=A{B}_1$。

第 (2) 小题：求二面角余弦值

1. 建立坐标系： 由 (1) 知 $AO\perp B_{1}C$。若 $AC\perp A{B}_1$，由于 $AC=A{B}_1$，则 $△A{B}_{1}C$ 为等腰直角三角形，且 $AO=CO=\frac{1}{2}{B}_{1}C$。 又 $AB=BC$，在 $△ABC$ 与 $△A{B}_{1}C$ 中可证得 $AO\perp OB$。 故 $OA,OB,O{B}_1$ 两两垂直。 以 $O$ 为原点，$OB,O{B}_1,OA$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

2. 确定点坐标： 设 $BC=2$。由于 $\angle CB{B}_1=60^{\circ }$，菱形边长为 $2$，则 $△CB{B}_1$ 是等边三角形。 则 $B_{1}C=2$，$OC=1$，$OB=\sqrt{3}$。 由此得各点坐标：$O(0,0,0),B(\sqrt{3},0,0),B_1(0,1,0),C(0,-1,0),A(0,0,1)$。 三棱柱中 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{O{B}_1}-\overrightarrow{OB}=(-\sqrt{3},1,0)$。 则 $A_1(-\sqrt{3},1,1)$，$C_1(-\sqrt{3},0,0)$。

3. 计算法向量：

   • 对于平面 $A{A}_1{B}_1$（即平面 $AB{B}_1$）： $\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},0,-1)$，$\overrightarrow{A{B}_1}=(0,1,-1)$。 设法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-z=0\\ y-z=0\end{array}$ 可取 $\vec{n}=(1,\sqrt{3},\sqrt{3})$。
   • 对于平面 $A_1{B}_1{C}_1$（即底面 $B_1{C}_{1}C$ 在此系的投影）： $\overrightarrow{B_1{C}_1}=\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{3},-1,0)$，$\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{BA}=(-\sqrt{3},0,1)$。 同理求得法向量 $\vec{m}=(1,-\sqrt{3},\sqrt{3})$。

4. 求余弦值： $\cos ⟨\vec{n},\vec{m}⟩=\frac{1-3+3}{\sqrt{1+3+3}\cdot \sqrt{1+3+3}}=\frac{1}{7}$ 结合图形可知二面角为锐角（或根据向量方向调整），其余弦值为 $\frac{1}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质、二面角的向量求法。

2. 核心方法：第一问几何证明两两垂直，为第二问建系扫清障碍。

3. 避坑指南：三棱柱中 $A_1$ 点的坐标是通过向量 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}$ 平移得到的，不要直接主观臆测。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直判定定理、菱形性质、空间向量数量积公式。

2. 结论推广: 若三棱柱侧面为菱形且存在特定的线线垂直，往往隐含着空间直角坐标系的自然对标。

3. 方法推广: 涉及二面角问题，若无法直观作出平面角，坐标法是万能钥匙，重点在于找基向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直
• 2013-湖南卷理-19 解-线面垂直