2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性

本题导读

$f^{\prime }(x)=k-\frac{1}{x}\ge 0$ 对 $x>1$ 恒成立，即 $k\ge \frac{1}{x}$ 的上确界 1，故 $k\ge 1$，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 若函数 $f(x)=kx-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty )$ 单调递增，则 $k$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,-2]$　　　　B. $(-\infty ,-1]$　　　　C. $[2,+\infty )$　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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$f^{\prime }(x)=k-\frac{1}{x}\ge 0$ 对 $x>1$ 恒成立，即 $k\ge \frac{1}{x}$ 的上确界 1，故 $k\ge 1$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=k-\frac{1}{x}$。$f$ 在 $(1,+\infty )$ 单调递增 $⟺f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $(1,+\infty )$ 恒成立。

即 $k\ge \frac{1}{x}$ 对一切 $x>1$ 成立。$x>1$ 时 $0<\frac{1}{x}<1$，其上确界为 1（$x\to 1^{+}$ 时无限接近 1 但取不到）。

所以 $k\ge 1$。选 D。

检验 $k=1$：$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}>0$（$x>1$），确为增函数，端点可取。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数的单调性；参数分离与恒成立

2. 核心方法：分离参数 $k\ge g(x)$ 恒成立 $⟺k\ge g(x{)}_{\max }$（上确界）

3. 避坑指南：开区间 $(1,+\infty )$ 上 $\frac{1}{x}$ 取不到 1，但 $k=1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，所以 $k=1$ 可以取——“上确界取不到”不等于”参数取不到”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数单调性定参题（doc 考点定位：导数），与 2014 年新课标Ⅰ文第 21 题（导数压轴）同卷。

2. 结论推广: 一般地，$f$ 在开区间递增 $⟺f^{\prime }\ge 0$ 在该区间恒成立；参数分离后与”确界”比较，端点是否可取要回代检验导数。

3. 方法推广: 单调性定参标准三步：求导 → 分离参数 → 确界比较 + 端点回检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合