2014-湖北卷文-13 填-正弦定理

本题导读

$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$，注意 $b>a$ 的两解情形。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $A=\frac{\pi }{6}$，$a=1$，$b=\sqrt{3}$，则 $B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $B=\frac{\pi }{3}$ 或 $B=\frac{2\pi }{3}$。因 $b=\sqrt{3}>1=a$，故 $B>A=\frac{\pi }{6}$，两解均满足，都保留。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理解三角形

2. 核心方法：大边对大角验两解

3. 避坑指南：$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 给出两个角，取舍依据是 $b>a\Rightarrow B>A=\frac{\pi }{6}$，两解都大于 $\frac{\pi }{6}$，故都保留；漏验「大边对大角」会误删一解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理的两解判定。

2. 结论推广: $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$；解的个数由 $b\sin A<a<b$（两解）、$=$（一解直角）等关系判定。

3. 方法推广: 已知两边与其中一边的对角（SSA）型问题，先算 $b\sin A$ 与 $a$ 的相对大小再定解数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-北京卷理-15 解-正弦定理