2015-天津卷文-09 填-复数除法

本题导读

分子分母同乘 $2-i$，化简得 $-i$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1-2i}{2+i}$ 的结果为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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分子分母同乘 $2-i$，化简得 $-i$。

✅【答案】

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$-i$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1-2i}{2+i}=\frac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i-4i+2i^2}{5}=\frac{-5i}{5}=-i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数代数形式的乘除运算

核心方法：分母实数化：分子分母同乘共轭复数

避坑指南：$(1-2i)(2-i)$ 展开时 $2i^2=-2$，实部恰好抵消，符号处理错一个就会得到带实部的结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷填空第 9 题的固定考点（复数四则运算），与 2012、2013 年天津卷理第 9 题同型。

结论推广：遇到 $\frac{a+bi}{c+di}$ 一律分母实数化；若结果为纯虚数，可先验实部为零来快速自检。

方法推广：复数运算完成后，把结果代回原式验乘一遍，是成本极低的校验习惯。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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• 2018-天津卷理-09 填-复数运算