2015-浙江卷文-13 填-向量数量积

本题导读

设 $\mathbf{b}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$，由 $\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=1$ 得 $x=y=\frac{2}{3}$，$|\mathbf{b}{|}^2=x+y=\frac{4}{3}$，$|\mathbf{b}|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 已知 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 是平面单位向量，且 ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=\frac{1}{2}$. 若平面向量 $\mathbf{b}$ 满足 $\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=1$，则 $|\mathbf{b}|=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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设 $\mathbf{b}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$，由 $\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=1$ 得 $x=y=\frac{2}{3}$，$|\mathbf{b}{|}^2=x+y=\frac{4}{3}$，$|\mathbf{b}|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=\frac{1}{2}$ 知 ${\mathbf{e}}_1$ 与 ${\mathbf{e}}_2$ 不共线，可作基底。设 $\mathbf{b}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$。

$\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=x+y({\mathbf{e}}_2\cdot {\mathbf{e}}_1)=x+\frac{y}{2}=1$，

$\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=\frac{x}{2}+y=1$，解得 $x=y=\frac{2}{3}$。

于是 $|\mathbf{b}{|}^2=\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=x(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1)+y(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，

故 $|\mathbf{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的分解；数量积的运算与模的计算

核心方法：基底分解 + “模平方就是自身点乘”

避坑指南：①$\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$ 不要展开成 $x^2+y^2$，用已知的投影值 $\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=1$ 直接合并最省力；②${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=\frac{1}{2}$ 说明夹角 $60^{\circ }$、两向量不共线，共线的情形要先排除才能作基底。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基底分解求模是平面向量的基本功题（doc 考点定位：平面向量数量积运算；向量的模），也可用投影几何意义快速心算。

结论推广：一般地，若 $\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_1=\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_2=d$（单位向量夹角 $60^{\circ }$），则 $\mathbf{b}=\frac{2d}{3}({\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2)$，$|\mathbf{b}|=\frac{2d}{\sqrt{3}}$。

方法推广：向量求模三板斧：基底分解、模平方化点乘、几何投影；优先把已知数量积当作”现成的投影”使用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2006-浙江卷理-13 填-向量模长平方恒等变换
• 2016-浙江卷理-15
• 2015-浙江卷理-15 填-向量数量积