2017-上海卷-04 填-球的体积

本题导读

本题考查球的体积公式，以及球的三视图。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知球的体积为 $36\pi$，则该球主视图的面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出球的半径：利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 建立方程，解出半径 $R$。
2. 分析主视图形状：球体在任何方向上的投影（主视图、左视图、俯视图）都是一个半径为 $R$ 的圆（大圆）。
3. 计算视图面积：利用圆的面积公式 $S=\pi R^2$ 计算得出结果。

✅【答案】

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$9\pi$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $9\pi$ 【解析过程】 设球的半径为 $R$。 由已知得，球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi$。 两边消去 $\pi$，得 $\frac{4}{3}{R}^3=36$。 $R^3=36\times \frac{3}{4}=27$。 解得 $R=3$。 因为球的主视图是一个半径为 $R=3$ 的圆， 所以主视图的面积 $S=\pi R^2=\pi \times 3^2=9\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：
• 球体积：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$。
• 球表面积：$S_{\text{表}}=4\pi R^2$。
• 空间想象：球体是唯一一个三视图完全相同的几何体。无论从哪个角度看，其投影面积都等于该球最大截面的面积。
• 计算细节：在解 $R^3=27$ 时，要注意结果的准确性，不要漏掉 $\pi$ 或者在计算面积时误用表面积公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为“该球主视图的周长”，则答案应为 $2\pi R=6\pi$。
2. 知识关联：如果一个圆柱和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，那么球的体积是圆柱体积的 $2/3$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-11 单-正方体内切球的体积
• 1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比
• 2002-北京卷文-05 单-球的体积与表面积