2017-上海卷-05 填-复数

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知复数 $z$ 满足 $z+\frac{3}{z}=0$，则 $|z|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程变形：将分式方程 $z+\frac{3}{z}=0$ 转化为整式方程，两边同乘以 $z$（显见 $z\ne 0$），得到 $z^2+3=0$。
2. 求解复数：由 $z^2=-3$ 可知，$z=\pm \sqrt{3}i$。
3. 计算模长：利用复数模的定义 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算结果。
4. 备选思路（性质法）：由 $z^2=-3$ 两边取模，得 $|z^2|=|-3|$，利用性质 $|z^2|=|z{|}^2$ 直接求出 $|z|$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\sqrt{3}$ 【解析过程】 由 $z+\frac{3}{z}=0$ 得： $z^2+3=0$ $z^2=-3$ 所以 $z=\pm \sqrt{3}i$。 则 $|z|=|\pm \sqrt{3}i|=\sqrt{0^2+(\pm \sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{3}$。

（或者：由 $z^2=-3$ 得 $|z^2|=|-3|=3$， 因为 $|z^2|=|z{|}^2$，所以 $|z{|}^2=3$， 又因为 $|z|\ge 0$，所以 $|z|=\sqrt{3}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：
• 虚数基本性质：$i^2=-1$。
• 复数的模：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
• 模的运算法则：$|z^n|=|z{|}^n$，$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。
• 易错点：
• 忽略虚数单位：误以为 $z^2=-3$ 无解（在实数范围内确实无解，但在复数范围内有解）。
• 计算错误：将 $|\sqrt{3}i|$ 误算为 $3$ 或 $1.732$（应保留根号形式）。
• 在处理有关复数模的方程时，尽量利用模的性质 $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$ 或直接取模，往往比求出 $z$ 的具体值更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若复数 $z$ 满足 $z^2+z+1=0$，则 $|z|=$ ？（提示：利用求根公式或观察到 $z$ 是 1 的三次单位根，其模长均为 1）。
2. 知识关联：复数的模在几何上表示复平面内对应点到原点的距离。本题中 $z$ 对应的点位于虚轴上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数