20.19 恒成立问题——转化为最值法

【知识点 1】 存在型： (1) 若存在 $x\in D$，使得 $f(x)>m$，则 $f(x{)}_{\max }>m$； (2) 若存在 $x\in D$，使得 $f(x)<m$，则 $f(x{)}_{\min }<m$。

【结论总结 2.1】 对任意的 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$，使得 $f(x_1)=g(x_2)$，则 $f(x)$ 的值域是 $g(x)$ 值域的子集，即 $f(A)\subseteq g(B)$。

【知识点 2.13】 (1) “任意” + “≤” 是要求函数的最大值，即 “任意小求最大”； (2) “任意” + “≥” 是要求函数的最小值，即 “任意大求最小”； (3) “存在” + “≥” 是要求函数的最大值，即 “存在大求最大”； (4) “存在” + “≤” 是要求函数的最小值，即 “存在小求最小”。

【结论总结 2.3】 (1) 任意的 $x_1\in A$，任意的 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\le g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\max }\le g(x{)}_{\min }$；

(2) 任意的 $x_1\in A$，任意的 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\ge g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\min }\ge g(x{)}_{\max }$。

【结论总结 2.4】 (1) 对任意的 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\le g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\max }\le g(x{)}_{\max }$； (2) 对任意的 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\ge g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\min }\ge g(x{)}_{\min }$。

【结论总结 2.5】 (1) 存在 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\le g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\min }\le g(x{)}_{\max }$； (2) 存在 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $f(x_1)\ge g(x_2)$，则 $f(x{)}_{\max }\ge g(x{)}_{\min }$。

【结论总结 2.6】 (1) 对任意的 $x_1\in A$，任意的 $x_2\in B$ 有 $|f(x_1)-g(x_2)|\le a$，等价于 $g(x{)}_{\max }-f(x{)}_{\min }\le a$ 且 $f(x{)}_{\max }-g(x{)}_{\min }\le a$； (2) 对任意的 $x_1\in A$，任意的 $x_2\in B$ 有 $|f(x_1)-g(x_2)|\ge a$，等价于 $g(x{)}_{\min }-f(x{)}_{\max }\ge a$或 $f(x{)}_{\min }-g(x{)}_{\max }\ge a$。

【结论总结 2.7】 (1) 若存在 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $|f(x_1)-g(x_2)|\le a$，等价于 $g(x{)}_{\min }-f(x{)}_{\max }\le a$ 且 $f(x{)}_{\min }-g(x{)}_{\max }\le a$； (2) 若存在 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $|f(x_1)-g(x_2)|\ge a$，等价于 $g(x{)}_{\max }-f(x{)}_{\min }\ge a$ 或 $f(x{)}_{\max }-g(x{)}_{\min }\ge a$； (3) 若存在 $x_1,x_2\in A$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|\ge a$，等价于 $f(x{)}_{\max }-f(x{)}_{\min }\ge a$。

【结论总结 2.8】 (1) 对任意 $x_1\in A$,存在 $x_2\in B$ 使得 $|f(x_1)-g(x_2)|\le a$，等价于 $g(x{)}_{\min }-a\le f(x{)}_{\min }$ 且 $f(x{)}_{\max }\le a+g(x{)}_{\max }$； (2) 对任意 $x_1\in A$，存在 $x_2\in B$ 使得 $|f(x_1)-g(x_2)|\ge a$，等价于 $g(x{)}_{\max }-f(x{)}_{\max }\ge a$ 或 $f(x{)}_{\min }-g(x{)}_{\min }\ge a$。