2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域

本题导读

本题先化简 $f(x)$：用平方差把 $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 化为 $-\cos 2x$，再与 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 展开合并，得 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，最后整体代换求周期与值域。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 已知函数 $f(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的值域.

🔍【思路分析】

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1. 由平方差：$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{2}=-\frac{\cos 2x}{2}$。
2. 展开 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 并合并同类项，得 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
3. (1) $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。(2) 令 $t=2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，结合单调性求 $\sin t$ 的范围。

✅【答案】

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(1)$T=\pi$；(2)$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。 由平方差，$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x$。 又 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$， 所以 $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\cos 2x=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。 (1)最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 (2)当 $x\in \left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$t=2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$。 $\sin t$ 在 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上单调递减。 当 $t=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{\pi }{3}$）时取最大值 $1$；当 $t=-\frac{\pi }{3}$（即 $x=-\frac{\pi }{12}$）时取最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以值域为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与值域

核心方法：平方差化 $-\cos 2x$，再与 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 合并成正弦型

避坑指南：$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{2}$ 是关键；值域端点要比较 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ 与 $\sin \frac{5\pi }{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 江西文第 19 题、2012 四川文第 18 题同为三角化简与值域。

结论推广：积式平方差化 $-\cos 2x$，合并为单一正弦型后再谈周期值域。

方法推广：值域问题的核心是相位区间的端点比较，画单位圆或记单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-19 解-三角化简与值域
• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域
• 2010-重庆卷文-06 单-三角周期与单调
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调