2008-江苏卷-19 解-数列删项等比

本题导读

第(1)问抓”删一项后成等比”的结构约束：等差数列任意连续三项必不成等比，故两侧保留项数不超过 $2$，得 $n⩽5$；第(2)问构造 $\sqrt{2}+k-1$ 型数列，用有理性矛盾证任意三项不成等比。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） (1)设 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 是各项均不为零的 $n$（$n⩾4$）项等差数列，且公差 $d\ne 0$. 若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. ①当 $n=4$ 时，求 $\frac{a_1}{d}$ 的数值； ②求 $n$ 的所有可能值.

(2)求证：对于给定的正整数 $n$（$n⩾4$），存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.

🔍【思路分析】

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1. 等差数列中连续三项 $u-d,u,u+d$ 满足 $u^2-(u-d)(u+d)=d^2\ne 0$，必不成等比。
2. 删去 $a_j$ 后两侧连续保留段都不能达到 $3$ 项，得 $j$ 与 $n$ 的不等式。
3. (2) 取 $b_k=\sqrt{2}+k-1$：若三项成等比则 $(q-p)b_j=pq$，无理数与有理数矛盾。

✅【答案】

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(1)①$\frac{a_1}{d}=-4$ 或 $1$；②$n=4$；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)设删去 $a_j$。等差数列中任意连续三项 $u-d$，$u$，$u+d$ 满足 $u^2-(u-d)(u+d)=d^2\ne 0$，不可能成等比数列。 因此删项后，$a_j$ 左侧与右侧保留的连续项数都不超过 $2$，即 $j⩽3$ 且 $n-j⩽2$，故 $n⩽5$。 ①$n=4$ 时，$j=2$ 或 $j=3$。令 $r=\frac{a_1}{d}$。 删 $a_2$：$a_1,a_3,a_4$ 成等比，$(r+2{)}^2=r(r+3)$，解得 $r=-4$； 删 $a_3$：$a_1,a_2,a_4$ 成等比，$(r+1{)}^2=r(r+3)$，解得 $r=1$。 两值都使各项非零（$r=-4$ 时 $-4d,-2d,-d$ 成公比 $\frac{1}{2}$ 的等比；$r=1$ 时 $d,2d,4d$ 成公比 $2$ 的等比），均成立。 ②$n=5$ 时只能 $j=3$，此时 $a_1,a_2,a_4,a_5$ 成等比，由前三项与后三项分别成等比得 $(r+1{)}^2=r(r+3)$ 与 $(r+3{)}^2=(r+1)(r+4)$，前者给 $r=1$，后者给 $r=-5$，矛盾。 故 $n=5$ 不可能，$n$ 的所有可能值为 $4$。 (2)取 $b_k=\sqrt{2}+k-1$（$k=1,2,\cdots ,n$），这是各项及公差都不为零的等差数列。 若 $b_i,b_j,b_k$（$i<j<k$）成等比，记 $p=j-i>0$，$q=k-j>0$，则 $b_i=b_j-p$，$b_k=b_j+q$， 由 $b_j^2=b_i{b}_k$ 得 $b_j^2=(b_j-p)(b_j+q)$，即 $(q-p)b_j=pq$。 若 $p=q$，则 $0=p^2$，矛盾；若 $p\ne q$，则 $b_j=\frac{pq}{q-p}\in \mathbf{Q}$，与 $b_j=\sqrt{2}+j-1$ 是无理数矛盾。 所以任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列，结论得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列删项成等比的存在性

核心方法：连续三项不成等比的结构约束加反证

避坑指南：删项后左右两侧保留段都不能含连续三项，两个不等式联立才得 $n⩽5$；$n=5$ 的矛盾要分别算前两项与后两项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 14 题、2009 安徽文第 19 题同为等差等比交汇。

结论推广：等差数列连续三项不成等比是结构性结论，许多删项题由此展开。

方法推广：存在性证明两件套：反证排除不可能，构造展示可能性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-14 填-等比数列四项链
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列
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