2009-上海卷文-19 解-复数模与范围

本题导读

考查复数。$z=2+\mathrm{i}$（实虚部均为正），$|w-z|=\sqrt{(u-2{)}^2+4}<2\sqrt{5}$，得 $-2<u<6$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知复数 $z=a+b\mathrm{i}$（$a$、$b\in {\mathbf{R}}^{+}$）（$\mathrm{i}$ 是虚数单位）是方程 $x^2-4x+5=0$ 的根.复数 $w=u+3\mathrm{i}$（$u\in \mathbf{R}$）满足 $|w-z|<2\sqrt{5}$，求 $u$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $x^2-4x+5=0$：$x=2\pm \mathrm{i}$，由 $a$，$b>0$ 取 $z=2+\mathrm{i}$。
2. $|w-z|=|(u-2)+2\mathrm{i}|=\sqrt{(u-2{)}^2+4}<2\sqrt{5}$。
3. 平方：$(u-2{)}^2<16\Rightarrow -4<u-2<4\Rightarrow -2<u<6$。

✅【答案】

点击查看答案

$-2<u<6$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-4x+5=0$ 得 $x=\frac{4\pm \sqrt{16-20}\mathrm{i}}{2}=2\pm \mathrm{i}$。 因为 $z=a+b\mathrm{i}$ 的实部 $a>0$、虚部 $b>0$，所以 $z=2+\mathrm{i}$。 $w-z=(u+3\mathrm{i})-(2+\mathrm{i})=(u-2)+2\mathrm{i}$，故 $|w-z|=\sqrt{(u-2{)}^2+4}$。 由 $|w-z|<2\sqrt{5}$：$(u-2{)}^2+4<20$，即 $(u-2{)}^2<16$，$-4<u-2<4$。 所以 $u$ 的取值范围是 $-2<u<6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程与模不等式

核心方法：解方程取正部 + 模平方解区间

避坑指南：$z=2+\mathrm{i}$（另一根 $2-\mathrm{i}$ 因 $b<0$ 舍去）；$(u-2{)}^2<16$ 开方是 $-4<u-2<4$，别只取正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数根 + 模的几何意义是上海卷解答题第一题配置。

结论推广：$|w-z|<2\sqrt{5}$ 表示 $w$ 在以 $z$ 为圆心、$2\sqrt{5}$ 为半径的开圆盘内。

方法推广：$w$ 限制在水平线 $y=3$ 上，交圆盘得开区间 $(-2,6)$，端点是开的不等号别写错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2009-辽宁卷文-02 单-复数除法