2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项

本题导读

考查数列综合。$a_n=-\frac{2}{3^n}$，$c=1$，$b_n=2n-1$；$T_n=\frac{n}{2n+1}>\frac{1000}{2009}⟺9n>1000$，$n_{\min }=112$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 已知点 $\left(1,\frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象上一点. 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $f(n)-c$. 数列 $\{b_n\}$（$b_n>0$）的首项为 $c$，且前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n-S_{n-1}=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}$（$n⩾2$）.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)若数列 $\left\{\frac{1}{b_n{b}_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，问满足 $T_n>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）点 $(1,\frac{1}{3})$ 在图象上，$a=\frac{1}{3}$，$f(n)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$。 2. $n⩾2$ 时 $a_n=f(n)-f(n-1)=-\frac{2}{3^n}$；由等比（公比 $\frac{1}{3}$）回代 $a_2=\frac{1}{3}{a}_1$ 得 $a_1=-\frac{2}{3}$，$c=1$。 3. $b_1=c=1$，$S_1=1$。令 $u_n=\sqrt{S_n}$：$(u_n-u_{n-1})(u_n+u_{n-1})=u_n+u_{n-1}$，约去正因子得 $u_n-u_{n-1}=1$。 4. $u_1=1\Rightarrow u_n=n$，$S_n=n^2$，$b_n=2n-1$。 5.（2）$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$，$T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}$。 6. $T_n>\frac{1000}{2009}⟺2009n>2000n+1000⟺9n>1000$，$n_{\min }=112$。

✅【答案】

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(1) $a_n=-\frac{2}{3^n}$，$b_n=2n-1$；(2)$n=112$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为点 $\left(1,\frac{1}{3}\right)$ 在 $y=a^x$ 的图象上，所以 $a=\frac{1}{3}$，即 $f(n)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$。 对 $n⩾2$，由前 $n$ 项和相减，得 $a_n=(f(n)-c)-(f(n-1)-c)={\left(\frac{1}{3}\right)}^n-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=-\frac{2}{3^n}$。 因此 $a_2=-\frac{2}{9}$。另一方面 $a_1=f(1)-c=\frac{1}{3}-c$，而等比数列公比为 $\frac{1}{3}$， 所以 $a_2=\frac{1}{3}{a}_1$，从而 $a_1=-\frac{2}{3}$，解得 $c=1$。 因此 $a_n=-\frac{2}{3^n}$（$n⩾1$）。 又 $b_1=c=1$，所以 $S_1=1$。对 $n⩾2$，令 $u_n=\sqrt{S_n}$，则 $u_n>0$，且 $u_n^2-u_{n-1}^2=u_n+u_{n-1}$，即 $(u_n-u_{n-1})(u_n+u_{n-1})=u_n+u_{n-1}$。 因为 $u_n+u_{n-1}>0$，所以 $u_n-u_{n-1}=1$。由 $u_1=1$，归纳得 $u_n=n$，即 $S_n=n^2$。 因此 $b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$。 （2）由 $b_n=2n-1$，所以 $T_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}$。 题设不等式等价于 $\frac{n}{2n+1}>\frac{1000}{2009}$。 由于分母均为正，交叉相乘得 $2009n>2000n+1000$，即 $9n>1000$，所以 $n>\frac{1000}{9}$。 满足条件的最小正整数为 $n=112$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由和式定通项与裂项求和

核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}=f(n)-f(n-1)$；令 $u_n=\sqrt{S_n}$ 化等差

避坑指南：$a_1$ 靠等比公比回代定 $c$；$u_n-u_{n-1}=1$ 得 $S_n=n^2$，$b_n=2n-1$；$T_n=\frac{n}{2n+1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：前 $n$ 项和为 $f(n)-c$ 型：先写 $a_1=f(1)-c$，再用公比列方程。

结论推广：$S_n-S_{n-1}=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}$ 平方差因式分解是关键一步。

方法推广：裂项后验证 $n=1$：$T_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1}$，公式自洽。

🔗【关联脉络】

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