2011-上海卷文-17 单-三角方程解集

本题导读

本题考查三角方程的解集，以及集合的包含关系。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若三角方程 $\sin x=0$ 与 $\sin 2x=0$ 的解集分别为 $E$，$F$，则 ()

A. $E⊊F$　　　　　　B. $E⊋F$　　　　　　C. $E=F$　　　　　　D. $E\cap F=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$E=\{x\mid x=k\pi \}$
2. 步骤2：$F=\{x\mid x=\frac{k\pi }{2}\}$
3. 步骤3：比较二者

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

$E=\{x\mid x=k\pi ,k\in \mathrm{Z}\}$；$\sin 2x=0⟺2x=k\pi$，$F=\{x\mid x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathrm{Z}\}$。

任一 $k\pi =\frac{2k}{2}\pi \in F$，故 $E\subseteq F$；而 $\frac{\pi }{2}\in F$ 但 $\frac{\pi }{2}\notin E$，故 $E⊊F$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的解集写法；集合真包含

核心方法：两边都化成”分母最小的等差列”，再看整倍关系

避坑指南：$\sin 2x=0$ 解为 $x=\frac{k\pi }{2}$，不是 $2k\pi$；解集是无限的，比较须用整除关系而非列举。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程与集合包含题与 2014-上海卷文-12、2013-上海卷理-21 同族。

结论推广：推广：$\sin nx=0$ 的解集为 $\{\frac{k\pi }{n}\}$，随 $n$ 增大解集变”密”；$E_m\subseteq E_n⟺\frac{1}{m}\in$ 整数倍关系（$n$ 是 $m$ 的约数倍时包含成立）。

方法推广：解集比较：统一写成 $x=\frac{k\pi }{N}$ 形式后，包含关系一目了然。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-12 填-三角方程
• 2013-上海卷理-21 解-正弦函数的单调性