2011-广东卷文-11 填-等比数列公比

本题导读

本题考查等比数列的基本量，以及增减性对公比的约束。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是递增的等比数列，$a_2=2$，$a_4-a_3=4$，则此数列的公比 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$a_4-a_3=a_2(q^2-q)=4$
2. 步骤2：解出 $q$ 后用”递增”舍负

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_2=2$：$a_3=2q$，$a_4=2q^2$。

$a_4-a_3=2q^2-2q=4$，即 $q^2-q-2=0$，$(q-2)(q+1)=0$，$q=2$ 或 $q=-1$。

$q=-1$ 时数列正负交替，不递增；$\{a_n\}$ 递增要求 $q=2$（此时 $a_n=2^{n-1}$ 递增）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项的基本量法；公比符号与数列增减性

核心方法：用 $a_2$ 表达 $a_3$，$a_4$，列一条方程，增减性作二次验算筛根

避坑指南：$q=-1$ 是”数值上满足方程”的陷阱根——正负交替的数列不递增；等比数列”递增”不等于 $q>1$（$0<q<1$ 且首项为负也递增），但本题 $a_2=2>0$ 排除了负首项情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列公比题与 2012-新课标卷文-14、2012-广东卷文-12、2011-北京卷文-12 同族。

结论推广：推广：等比数列递增 $⟺$（$a_1>0$ 且 $q>1$）或（$a_1<0$ 且 $0<q<1$）；$q<0$ 时必正负交替不单调。

方法推广：等比基本量题：一条方程解出两根后，必用单调性 / 符号条件筛根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比
• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和