2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 已知 $a$，$b$，$c$ 分别为 $△ABC$ 三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边，$a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$.

(1) 求 $A$；

(2) 若 $a=2$，$△ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b$，$c$.

🔍【思路分析】

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(1) 边化角化出 $2\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=1$，$A=\frac{\pi }{3}$；(2) $bc=4$ 且 $b+c=4$，得 $b=c=2$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$ (2) $b=c=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理（边化角）： $\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin A\sin C-\sin B-\sin C=0$ $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，代入： $\sqrt{3}\sin A\sin C-\cos A\sin C-\sin C=0$ $\sin C\left(\sqrt{3}\sin A-\cos A-1\right)=0$ $\sin C\ne 0$，故 $2\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=1$，即 $\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。

$A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$，后者 $A=\pi$（舍），故 $A=\frac{\pi }{3}$。

(2) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{4}bc=\sqrt{3}$，得 $bc=4$。

余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc$，即 $4=(b+c{)}^2-12$，$b+c=4$。

$b,c$ 是 $t^2-4t+4=0$ 的两根，故 $b=c=2$（等边三角形）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理与面积公式的联立

核心方法：边化角 → 提公因式 → 辅助角（或差角）解出 $A$；面积定 $bc$，余弦定 $b+c$，韦达收口

避坑指南：①$\sin B=\sin (A+C)$ 展开是消 $B$ 的关键，方向别反；②$\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 有两解，$A=\pi$ 使三角形退化要舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形标准大题（边角互化 + 面积），与 2013 年新课标Ⅰ理第 17 题、2013 年天津卷文第 16 题同族。

结论推广：一般地，含 $a\cos C$、$b$、$c$ 混合的边角条件，“正弦定理边化角 + 内角和展开”是通法。

方法推广：解三角形大题两问分工：第一问求角用边化角；第二问用”面积 + 余弦定理”双方程锁定两边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-17 解-正弦定理
• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形