2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及由导数符号判断图象特征。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，其导函数为 $f^{\prime }(x)$，且函数 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极小值，则函数 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 的图象可能是()

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🔍【思路分析】

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$x=-2$ 处取极小值 $\Rightarrow$ $f^{\prime }$ 在 $-2$ 两侧由负变正；$y=x{f}^{\prime }(x)$ 还要再乘因子 $x$ 的符号，分 $x<0$ 与 $x>0$ 两段定号。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极小值，且 $f$ 可导，故 $f^{\prime }(-2)=0$，且 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=-2$ 左侧为负、右侧为正。

记 $g(x)=x{f}^{\prime }(x)$，则 $g(-2)=(-2)\times 0=0$，且 $g(0)=0$。

① 当 $x<-2$ 时：$x<0$，$f^{\prime }(x)<0$，故 $g(x)>0$；

② 当 $-2<x<0$ 时：$x<0$，$f^{\prime }(x)>0$，故 $g(x)<0$；

③ 当 $x>0$ 时（在 $-2$ 右侧足够近处）：$x>0$，$f^{\prime }(x)>0$，故 $g(x)>0$。

所以 $g$ 的图象在 $x=-2$ 处由正穿到负（向下穿过 $x$ 轴），在 $x=0$ 处由负穿到正（向上穿过 $x$ 轴）。

（A）在 $x=-2$ 处只相切不变号、在 $x=0$ 处向下穿过，不符；（B）在 $x=-2$ 处不变号，不符；（D）在 $x=-2$ 处向上穿过，不符。

只有（C）符合，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点处导数为零且变号；两个因子乘积的符号分配

核心方法：“极小值 $\Rightarrow$ 导数由负变正”是硬信息；$y=x{f}^{\prime }(x)$ 的符号 = $x$ 的符号 $\times$ $f^{\prime }$ 的符号，分区间列表定号

避坑指南：极值点只保证 $f^{\prime }(-2)=0$ 且变号，不保证 $f^{\prime }$ 之后不再变号，但四个选项中只有（C）与”在 $-2$ 处向下穿、在 $0$ 处向上穿”这两条硬信息同时相容；忽略因子 $x$ 的负号是本题最大的坑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由极值信息识别 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 图象的题，与 2013 年浙江卷文第 8 题、2013 年安徽卷理第 8 题同族。

结论推广：对 $y=x^k{f}^{\prime }(x)$（$k$ 为正奇数）这类”因子带符号”的图象题，都按”各因子符号相乘”定号，零点位置由各因子分别给出。

方法推广：图象选择题先从解析式提取”必真”的硬信息（零点、符号、奇偶），再用硬信息逐项排除，不要靠”看起来像”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-08 单-导数定图象
• 2013-安徽卷理-08 单-函数图象
• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别