2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角

本题导读

本题考查正弦定理，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，若 $B=2A$，$a=1$，$b=\sqrt{3}$，则 $c=$()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理：$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$，代入 $B=2A$：$\frac{\sqrt{3}}{\sin 2A}=\frac{1}{\sin A}$。
2. $\sin 2A=2\sin A\cos A$，约去 $\sin A$：$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. $A=\frac{\pi }{6}$，$B=\frac{\pi }{3}$，$C=\frac{\pi }{2}$；外接圆直径 $2R=\frac{b}{\sin B}=2$，$c=2R\sin C=2$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},$ 代入 $a=1$，$b=\sqrt{3}$，$B=2A$： $\frac{1}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 2A}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin A\cos A}.$ 因为 $A$ 是三角形内角，$\sin A\ne 0$，两边约去 $\sin A$： $1=\frac{\sqrt{3}}{2\cos A}⟹\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 所以 $A=\frac{\pi }{6}$，$B=2A=\frac{\pi }{3}$，$C=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$。 由 $\frac{b}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，得 $c=2\sin C=2\times 1=2.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形（$B=2A$）

核心方法：$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$：$\frac{\sqrt{3}}{2\sin A\cos A}=\frac{1}{\sin A}$ → $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $C=\frac{\pi }{2}$，$c=2$

避坑指南：$B=2A$ 代入正弦定理后约去 $\sin A$（$A$ 是三角形内角，$\sin A\ne 0$）得 $\cos A$；求出 $A$、$B$ 后 $C$ 恰为直角——别在解出 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 后忘了算 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理与角的倍数关系（全国卷高频小题）。

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；$\sin 2A=2\sin A\cos A$。

方法推广：$B=2A$ 型：正弦定理边化角 → 二倍角展开 → 约去 $\sin A$ 求 $\cos A$ → 内角和定 $C$ → 回代求边。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形